La vraie vidéo de rentrée avec une belle racine carrée à calculer en moins de 20 secondes. Il s'agit de la somme des premiers nombres impairs consécutifs. La formule est surprenante de simplicité.
Super comme d'habitude. Il y a une autre propriété sympa entre les impairs et les cubes. 1^3 = 1 (premier nombre impair) 2^3 = 3+5 (somme des deux impairs suivants) 3^3 = 7+9+11 ( les trois impairs suivants) 4^3= 13+15+17+19 =64 Etc
merci pour la vidéo ! en revanche, pour l' explication visuelle, je pense qu' on se rendrait mieux compte en agrandissant le carré de base en prolongeant 2 de ses côtés plutôt que d' en recréer un autre autour, je pense qu' on visualiserait mieux pour comprendre la règle mathématique qui s' opère à chaque augmentation. mais ce n' est que mon avis. super content te retrouver de nouvelles vidéos ! merci et bonne rentrée à toi !
Pour les personnes qui ont tenté de le prouver véritablement, c'est-à-dire en l'occurrence par la récurrence ou pour les personnes qui souhaiteraient savoir comment faire, je peux vous le montrer si vous voulez ( je peux vous l'envoyer par mail ).
Je vois pas en quoi tu as fait n'importe quoi toutes ces années ! Et merci pour cette curiosité mathématique. Pour ma part je n'ai pas été réceptif à la démonstration visuelle, je serais preneur d'une démonstration par récurrence !
J’exagère un peu mais en me montrant 2-3 réglages je me suis rendu compte que j’aurais pu faire mieux, plus simplement tout en gagnant du temps.. C’est noté pour la récurrence alors 😉
Génial ! l' explication visuelle je l'attendais pas, mais comme d'hab, j'ai ri parce qu'elle m'a tout fait comprendre. Quand je comprends, je rigole ^^
Super vidéo ! J'aurais jamais pensé à faire ça ! C'est vraiment marrant les mathématiques, des choses qui ont l'air compliquées mais qui au final, avec la bonne propriété, se retrouvent être des choses simples qu'on peut calculer facilement ! Merci infiniment de nous montrer toutes ces propriétés et ces différentes façons de penser que les cours de maths lambda au collège/lycée 🙏🙏
Bonjour, c'est toujours un plaisir de suivre vos vidéos, les maths c'est une passion même après 55 ans Si vous permettez, j'ai une autre approche : on sait que : 1+2+3+.....+n = n(n+1)/2 alors : 1+3+5+7+....+2023 = 1+2+3+4+5+.....+2023 - (2+4+6+...+2022) = 2023 x (2024)/2 - 2 x (1+2+3+.....+1011) = 2023 x 2024/2 - 2 x 1011*1012/2 = 1012 x 1012 = 1012²
on peut utiliser la méthode de Gauss : écrire la somme sous la racine (soit S) une fois à l'endroit puis une fois à l'envers sur une ligne en dessous, la somme des termes deux à deux fait toujours 2024 ( 1 + 2023, 3 + 2021, etc...) et on a bien (2023+1)/2 = 1012 paires. Donc 2 S = 2024 X 1012, S=1012^2, rac S = 1012
10 secondes. Mais je ne connaissais pas la formule. En utilisant la technique de Gauss, j'ai observé que la suite pouvait s'écrire sous la forme (n+1)×(n+1)/4 soit (n+1)²/4 Donc le problème peut s'écrire rac² [ (n+1)²/ 4 】 soit (n+1) /2 Soit 2024 /2 Soit 1012
Il y a aussi la possibilité de remarquer que la première moitié de la série s'ajoute parfaitement à la seconde (1+2023, 3+2021, etc.) pour donner une addition de 506 fois 2024 (parce qu'on n'a que les impairs, de 1 à 1011 sur la première moitié, de 1013 à 2023 pour la deuxième). Or, 506 x 2024 = 506 x 2 x 1012 = 1012 x 1012... Il me reste 17 secondes pour faire couler le café...
J'ai jamais cette démo en je sais pas combien d'année de maths. Merci bcp professeur. Possible svp d'avoir la démo rigoureuse avec les n.... Merci bcp. Tu nous honores vraiment 🙏🙏🙏💯💯💯💯💯
Je vous avais proposé de faire cette démonstration l'année dernière. J'imagine que vous recevez beaucoup d'idées de vos abonnés et je suis heureux de la voir en application dans ce format. Continuer comme ça. Peace
Effectivement j’en reçois de plus en plus. J’essaie de répondre au maximum mais je n’y arrive pas toujours. Ou parfois j’oublie d’où est venu l’idée de la vidéo dont j’ai écrit le petit scénario… merci de ton message et ravi de voir de ton assiduité 😊
@@hedacademy Petite demonstration . On sait que 1+2+3+4+...+n = n(n+1)/2 si on multiplie des deux cote par deux -> 2+4+6+8+...+2n = n(n+1) on enleve 1 a chaque elements -> (2-1)+(4-1)+(6-1)+.....(2n-1)= : n(n+1)-n donc 1+3+5+7+....+(2n-1)=n(n+1)-n ==> n*n + n - n ==> n au carré. CQFD -- biz
on peut aussi decomposer en 1 + 1+2 + 1+4 + 1+6 + ... avec n termes, ce qui revient à dire que c'est n + somme des nombres pairs presents (somme qui se demontre facilement) soit n + (n x (n-1)) = n(1 + n-1) = nxn :)
J'ai retrouvé la démonstration sur la somme des n premiers impairs et je l'ai appliquée. Je vais pas spoiler parce que ça peut faire une vidéo sympa, je donnerais ma version en commentaire de cette future vidéo si elle est différente. Merci je retrouve les plaisirs de ma lointaine jeunesse
Il a dû avoir une jolie française en prof de math pour avoir cette curiosité... Les math c'est soi on te donne l'astuce soi t'es un vrai genie et tu arrives par toi même. Souvent c'est un passage de relais d'astuce et à un moment donné les récurrence d'astuces se répètent.
Perso j'ai pensé à l'identité remarquable (a+b)² avec b=1 (a+1)²=a²+2a+1 ce qu'on peut traduire par : pour passer de n² à (n+1)² il suffit d'ajouter le n-ième entier naturel impair.
Bonjour, super vidéo, et pour ma part, je n'ai pas remarqué de grands changements avec les vidéos précédentes, tout du moins ça n'était pas dérangeant auparavant puisque le contenu était tout aussi de qualité ! Néanmoins j'avais une question : le cercle trigonométrique conserve-t-il la même équation dans C que dans R ? C'est dans l'un de mes DM de maths ex, et je suis pas certain de ma réponse. Merci !
J'arrive un peu en retard mais j'ai du mal à comprendre de quoi tu parles, tu parles de cos^2 +sin^2 = 1? Déjà ça dépend de la définition du cos et sin complexe mais si c'est avec la formule d'Euler tu regardes cos ix ça va tendre vers +inf pareil pour sin donc la somme des carrés aussi
J ai utilise une autre methode : pour aller vite, on additionne les premiers et derniers termes de la somme situee sous la racine (1+2023 + 3+2021 etc...). Sachant que le nombre de termes = 2024/2, la somme sous la racine est donc 2024 x (2024/2)/2 , ou (2024/2) x (2024/2), soit 1012*2.
J'ai utilisé cette même méthode, qui marche parfaitement, et que l'on peut utiliser pour calculer la somme d'une suite arithmétique : on ajoute les premiers avec les derniers, et on obtient 2 * la somme...
J'ai adoré l'explication visuelle, mais j'avoue que j'aimerais connaître la démonstration "rigoureuse". Bien content que la rentrée soit arrivée pour retrouver ces vidéos.
J'ai deux preuves en tête : - Soit tu fais une récurrence : * Initialisation n=1 : (somme de k=1 à 1 de k)= 1 et (1+1)²/2²=1. * Hérédité : Supposons (P(n)) : k impairs tels que : (somme de k=1 à n de k)=(n+1)²/2². On montre que c'est vrai au rang n+2 (attention k est impair donc c'est bien 2 rangs après) Alors : (somme de k=1 à n+2 de k)=(somme de k=1 à n de k)+n+2 = (n+1)²/2² + n+2 (d'après l'hypothèse de récurrence) = (n²+2n+1+4n+8)/2² = (n²+6n+9)/2² = (n+3)²/2² = (n+2+1)²/2² C'est donc toujours vrai après l'hérédité. Ainsi, d'après le théorème de récurrence, la proposition (P(n)) est vérifiée pour tout entier n>=1. Autre preuve plus simple : - Preuve de Gauss : S = 1+3+5+...+2023. S = 2023+2021+2019+...+1 Donc 2S=2024+2024+...2024 (1012 fois car 1012 paires) Et donc S = 1012*1012=1012².
ou alors autre méthode, diviser pour régner : on peut voir la somme des impairs comme une somme - les pairs puis les pairs se factorisent par 2 donc on a que des calculs triviaux
Super! Bravo! Ça c’est de la pédagogie! Juste une remarque sur le dessin: pertinent, mais plus clair et exact en ajoutent des carrés de 1x1 et pas en encadrant en large des points, c’est mieux visuellement et permet de voir le décompte apparaître… Just saying
Pour ceux qui veulent des preuves, j'en ai 2 : - Récurrence : * Initialisation n=1 : (somme de k=1 à 1 de k)= 1 et (1+1)²/2²=1. * Hérédité : Supposons (P(n)) : k impairs tels que : (somme de k=1 à n de k)=(n+1)²/2². On montre que c'est vrai au rang n+2 (attention k est impair donc c'est bien 2 rangs après) Alors : (somme de k=1 à n+2 de k)=(somme de k=1 à n de k)+n+2 = (n+1)²/2² + n+2 (d'après l'hypothèse de récurrence) = (n²+2n+1+4n+8)/2² = (n²+6n+9)/2² = (n+3)²/2² = (n+2+1)²/2² C'est donc toujours vrai après l'hérédité. Ainsi, d'après le théorème de récurrence, la proposition (P(n)) est vérifiée pour tout entier n>=1. Autre preuve plus simple : - Preuve de Gauss : S = 1+3+5+...+2023. S = 2023+2021+2019+...+1 Donc 2S=2024+2024+...2024 (1012 fois car 1012 paires) Et donc S = 1012*1012=1012².
En fait, j'ai fait comme on a appris depuis Gauss, j'ai ajouté chaque nombre à l'envers et divisé par deux. J'ai donc 1012 x la somme 2024 divisée par deux, donc 1012 au carré, CQFD
Super vidéo ! Perso j'ai utilisé une tout autre méthode : Soit u = 1+3+5+...+2023 On peut dire que u = 1+2+3+...+2022+2023 - 2-4-6-...-2022 Soit u = 1+2+3+...+2023 - 2x(1+2+3+...+1011) Ce qui revient à dire que u = (2023x2024)/2 - 2x(1011x1012)/2 grâce à la formule n(n+1)/2=1+2+...+n On a donc u = 2023x1012-1011x1012 = 1012(2023-1011) = 1012x1012 Finalement : sqrt(u) = sqrt(1012²) = 1012 😉
Je me suis compliqué la vie mais je l'ai fait en une quinzaine de seconde : en premier calculer la somme du premier et du dernier impair (2024) puis multiplier par le nombre de sommes total soit (2024/2)/2, ce qui donne sqrt(2024²/2²) = 2024/2 = 1012
J'ai découvert cette propriété en jouant au Professeur Layton. Il y avait une énigme consistant à compter le nombre de triangle qui composent un plus grand triangle.
Pour la démonstration, j'ai pensé aux identités remarquables : a²-b² = (a+b)(a-b). Si a et b sont deux entiers consécutifs, alors la différence entre les carrés vaut (a+b)(1), soit la somme de a et b. Pour n'importe quels nombres entiers consécutifs, on retombe sur ça. 2²-1² = (2+1)(2-1) = 3*1 = 3 ; 3²-2² = (3+2)(3-2) = 5*1 = 5 ; 4²-3² = (4+3)(4-3) = 7*1 = 7 etc.
C’est la racine carrée de la somme des 1012 premiers termes d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1 ( dernier terme 2023). Donc S=sqrt [1012(1+2023)/2]=1012
On peut aussi remarquer que 2023+1=2021+3=....=2024; il y a donc 1012/2 fois le terme 2024 dans cette somme donc 2024 x 1012/2 soit 1012x2x1012/2 soit enfin 1012x1012 dont on extrait la racine.
tu peux aussi faire s=1+3+5+7+...2023 et 2*s=(1+2023)+(3+2021)+(5+2019)+(7+2017)+.......+(2023+1)=2024*1012 d'où s=1012*1012 et s^(1/2)=1012 mais ... c'est plus rigolo avec les petits carrés au tableau!
Intuitivement je fais 2023 - la distance de 0 au premier nombre (1) divisé par deux donc racine de 1011 ? Après j'ai aucune idée de comment on calcule une racine, ça me semble pas naturelle comme concept.
J’ai posé un = 2n-1, ce qui revient à calculer racine(S) où S = u1 + u2 + … + u1012. On a ici la somme des 1012 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u1, on applique la formule S = n*(u1+un)/2, ce qui nous donne S = 1012*(1+2023)/2 = 1012*2024/2 = 1012*1012 = 1012^2. Finalement racine(S) = racine(1012^2) = 1012.
En fait c'est pas la rythme tique. C'est l'application des suites (arithmétique, géométrique). C'est dingue la vérité que décèle notre œil.. On peut arrêter la wifi, et revaloriser le comptable à cahier. 😂
