Los diferenciales son muy útiles pero, ¿qué son realmente? ► Mi canal secundario ◄ / @aprendeconstandenmath ► ¿Quieres apoyarme? ◄ Patreon: / standenmath
Un video muy interesante. =) La cuestión sobre dx no es que no se pueda separar de dy para un despeje, sino que cuando multiplicas por dx ambos miembros lo que haces es multiplicarlos por un número infinitamente pequeño. En la derivación, dx indica el límite cuando los puntos de la curva por los que pasa la recta que la atraviesa se acercan hacia un término común, como si esos puntos se fusionaran. En la integración, el diferencial es la base infinitamente reducida de un rectángulo con el que estás tratando de calcular el área bajo la curva. Por tanto, cuando dx pasa de dividir a multiplicar, su objetivo de operación cambia (de derivar a integrar). La dificultad de comprender el significado del operador dx se debe a la complejidad del concepto de límite.
Otra forma de formalizar los diferenciales es construyendo el conjunto de los hiper-reales, donde los diferenciales son un número así como los números que tienden a infinito.
La primera vez que te presentaron el diferencial en una asignatura de Matemática, ¿lo definieron de esta manera? Si no lo definieron nunca, ¿crees que es relevante para una formación "no demasiado formal matemáticamente" o basta con saber cómo operar con ellos en integrales y ecuaciones diferenciales? PD: Como parte de la audiencia ha comentado (con justa razón), un diferencial puede generalizarse mucho más que esto a otros espacios. Si hay interés, podría hacer un video de eso más adelante.
Mi profesor pasado (que no era de calculo) nomas decia que Si tomamos el dx de la integral, y lo relacionamos abstractamente con 𝚫x en la suma de Riemman, entonces como 𝚫x estaba tendiendo a 0, pues que dx era análogamente un numero que marcaba la diferencia entre las distintas x (más no el cambio), y que por tanto, al evaluarse la derivada en un punto a, dx sería un numero tal que marcase esa diferencia entre las x, y que, por tanto, era un numero (ANALOGAMENTE) y que por eso se podía jugar así con el Cabe recalcar que no era clase de calculo ni era profe de calculo, fue nomas una charla que tuvimos 😂 Pero bueno, todos saben que dy/dx cancelan las d y queda y/x 🎉🎉
Puchas yo te apoyo harto y he citado tu canal en más de alguna clase, pero acá no veo sólo imprecisiones sino de plano errores y creo saber de dónde vienen. Como he comentado en ocasiones anteriores, el desarrollo hecho en textos tipo "diseñado para un curso de cálculo" muchas veces carecen de seriedad y formalidad en algunos temas (normalmente los más abstractos) y, sin poner la atención necesaria, uno puede tomarlo como "la verdad". Los desarrollos serios de temas matemáticos dan a entender que la "diferencial" de una función f es una transformación lineal que "simula" el comportamiento de f en una vecindad de un punto "a" dado. Por eso df=f' cuando f tiene sólo una variable, es que las transformaciones lineales de R en R son de la forma kx (teorema de representacion de Riesz) y geométricamente sería una recta que pasa por (0,0) con una pendiente específica que... Sorpresa! Hace a la recta ser tangente al gráfico de f! Pero en contextos más generales (funciones cuyo dominio son evt, por ejemplo) df es un operador qué toma elementos del dominio de f y los convierte en una transformación lineal de Dom(f) a Rec(f) Un punto relevante a destacar acá es que "dx" usado en las integrales tiene ooooootro significado. Es "similar" pero no es lo mismo, por tanto es impreciso leer como el canal mathrock por ejemplo \int fdx como "la integral de f por el diferencial de x". Para una lectura introductoria a estos dos temas recomiendo, como siempre, los libros de E. L. Lima (el de análisis II y el de teoría de la medida). Buen domingo.
¡Hola, Marcos! Aunque no lo creas, desde antes de subir el video esperaba tu respuesta (e intuí que ibas a mencionar espacios vectoriales normados o topológicos para la definición más general 😄). La verdad es que pensé primero definir diferenciabilidad de manera más abstracta para presentar la derivada de Fréchet: tomamos límite cuando h tiende a cero de || f(x+h) - f(x) - kx || / || h ||. Decir luego que si existe un operador lineal acotado k tal que ese límite sea cero, entonces es único y df(x)=k, y de ahí seguir para relacionar que df(x)(h)= f'(x)*h en una variable y en varias * es producto punto. No lo hice así porque quise mostrarlo sin hacer demasiado hincapié "en lo fino" (si te fijas, en el video digo que df "es una aplicación, pero si quieres simplemente una función", para no desviarme demasiado en que es un operador, en caso que hayan personas en la audiencia que jamás hayan visto lo que es un operador, al menos no "concientemente"), y simplemente lo definí como f'(x)*h que es a lo que se reduce en una variable. Lo de que el diferencial "simula" (me gustó el término, normalmente ocupaba "imita") a la función en torno a un punto también lo menciono pero sólo en el caso de una variable (nuevamente, ni siquiera me quise meter en diferenciabilidad en dos variables para presentar algo más accesible) cuando hablo de la interpretación geométrica, como por la mitad del video, pero no le quise dar nombres (ni aproximación de primer orden ni nada de eso, mucho menos mencionar normas en otros espacios). Lo que sí creo es que, en mi afan de presentarlo de manera más accesible, debí escribir df(x)(h) y no df(x,h) para recalcar la aplicación, pero como te digo la idea es quitar un poco el misticismo del pobre dx sin entrar demasiado en esa cueva y, más que nada, "dar paz" a que las operaciones mecánica que se hacen al "hacer volar diferenciales de un lado a otro" están justificadas (aunque no sean exactamente lo mismo). Si te interesa, "Calculus of One Variable" de Joseph Kitchen hace una presentación interesante sobre diferenciales para "justificar esas manipulaciones" (insisto en que es para estudiantes que recién se están exponiendo al tema), por si quieres verla en caso que no la conozcas (te mandaría una foto pero no se puede por acá). Acuérdate que la finalidad del canal es balancear entre lo intuitivo y lo formal y no tener demasiado de ambos. ¡Gracias por la conversación! Nicolás PD: ¡Hacía tiempo que no leía el Teorema de Representación de Riesz!
@@ly_kous te indicaré una guía de lectura para que no me creas a mi ni a youtube. Primero: la integral de Rieman-Stieljes. La puedes aprender desde el libro de Robert Bartle "the elements of real analysis". Con eso en mano definimos la notación \int fdx como la integral de Rieman Stieljes de la función f con respecto a la función identidad de los reales (que a cada x le asocia el mismo x) y que fácilmente la puedes extender a cualquier evt (basta que tengamos una topologia y operaciones binarias). En EDO la cosa se pone un poco menos seria con las notaciones ya que definimos una EDO como el núcleo deuna función definida en el conjunto de las funciones n veces derivables de una variable.
@@StandenMath hace poco trabajé en un proyecto que implicaba formalizar la idea de "forma diferencial de orden k" pero siempre haciendo el símil con las FD de orden 0 y 1 con el fin de estandarizar algunas posturas frente al teorema de Stokes (el de verdad, no el que pasan en cálculo III) sin importar si estamos en una FD de orden k>0 o una 0-forma. Me di cuenta entonces la relevancia de que se perciba "la derivada" como una transformación lineal, contrario (de cierta forma) a la costumbre que abunda en los cursos típicos de Cálculo universitario. Y te aclaro, estimado, que siempre es un agrado discutir (contrastar ideas, no agarrarse del moño xd) con gente de su altura. Un cordial saludo.
Este dominio de las matemáticas para explicar temas como este es el que estoy buscando para convertirme en maestro de matemáticas, grandioso vídeo, saludos desde México.
Muchísimas gracias por este video, siempre ví videos de otros canales de matemáticas que hablaban de que en estricto rigor no se pueden separar diferenciales, y por primera vez veo una demostración formal
¡Muchas gracias! En rigor no los separamos, pero operan como si los separásemos así que todo sale bien aunque tengamos una venda en nuestros ojos. Espero que sigas disfrutando de mi contenido 💪
¿Soy yo? ¿o al momento de probar dy=F'(x)dx, se escribió mal dy(u, h) cuando debió ser dy(x, h)? Pues, al final como x depende u, se sustituyó en el argumeneto de F', u por x(u). 11:55
Pero a nivel pedagógico en un curso introductorio de Cálculo es más útil introducir primero la diferencial de forma intuitiva (y con las reglas de L'Hopital) y a partir de ahí llegar a la definición de derivada. Tristemente este enfoque no es el dominante, sino el formal.
¡Hola! Cualquier pizarra virtual sirve (la de Zoom por ejemplo funciona de maravilla). En mi caso, ocupo un software de dibujo que se llama Leonardo y una Wacom Intuos porque cabe perfecto en mi mesa 😅
¡Hola! Ahora que lo dices, no me había percatado. En Chile y en otros países de Latinoamérica se utiliza(ocupa) a veces como sinónimo de "emplear/utilizar". Reemplaza el "ocupar" a gusto por cualquiera de los que dijiste 😊.
me encanta gracias por darnos tal contenido!! con esa idea, se pueden resolver esta integral raraa? tiene sentido? ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-VVF2nZ0WOY4.html (NO ES PUBLICIDAD) Significa que dx podria estar en ecuaciones normales como estas ?? ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-EC1hFm6nmdw.html (NO ES PUBLICIDAD)
¡Me gustan los videos de ese creador de contenido! Se podría hacer como él hace y con las ideas de este video, pero como bien dice él mismo en el "pinned post", para un desarrollo formal habría que justificar bastante bien los pasos. La idea de ese video es mostrar una manera más informal/intuitiva versus el desarrollo "serio".
Esotérico? 😅 Ayayay. Generalizando, deltas que tienden a cero, esto sería transformación lineal y fibrado tangente. Espacio de fases entonces, Hamiltoniano. Tu f prima es una transformación lineal 😳 No me agrada mucho esta demonstrandum, Nicolás. Estamos realmente colocando una función para representar los alrededores de un punto de la expresión, lo cuál resulta en un fibrado tangente y los ángulos nos dan, estrictamente, la diferencia.
¡Hola, Mister! También esperaba tu comentario, veo que no me decepcionas 😂. Como escribí en otro comentario, pensé en todo lo que dices: (transformación lineal, normas, etc.), pero la verdad después lo repensé y quise hacer un video donde, sin meterme en esos temas (porque desconozco si la mayoría de la audiencia está familiarizado con ellos), podemos "justificar" el que los diferenciales "vuelen de un lado a otro en las ecuaciones" y lo reduje al caso de una variable de df(x)(h)=f'(x)*h, sin entrar en definición de diferenciablidad, hablar de operadores lineales, etc. Quizá para más adelante haga una conversación "más fina" de qué son, y ahí mencionamos todo lo que dices. Por el momento, me conformo con la aproximación lineal (que si te fijas, tampoco la nombro formalmente, sólo la idea geométrica con la definición que di). ¡Un saludo, Mister! PD: Esotérico porque últimamente nadie pregunta que es un diferencial, sólo les interesa que funcione 😅
@@StandenMath ok. Pero es que tienes ahí la estructura de Schrodinger digamos en tu comentario. Lo mesmo en el vídeo claro. O sea, que lo de la izquuerda x h es igual a operar sobre f' Es que "volar de un lado a otro" 🤣 Puede ser un poco malentendido y utilizado mal.
Buenas. Recién veo el video. No estudié geometría diferencial y considero a un diferencial de x como un delta de x que tiende a cero. No considero lógico aproximar un diferencial a algo finito como se indica en el video.. ya que un diferencial no tiene la cualidad de longitud, es infinitésimo. Estamos comparando objetos cualitativamente distintos. Es como comparar lo opuesto: 1000 aprox infinito. No tiene sentido si no se usan límites que vinculen estos objetos y me parece un error filosófico profundo. Saludos.
Estas desvirtuando los diferenciales originales de Leibniz con arreglos pseudoformalistas ya que no aceptan que los diferenciales son una cualidad (infinitamente pequeño) que no siguen el principio de identidad cuando se deriva, el límite cuando ∆x tiende a cero solo es una forma de esconder los diferenciales dx, que irónicamente aparecen otra vez para la integral por partes y en ecuaciónes diferenciales, la pregunta es: ¿Porque usas los diferenciales dx, dy para resolver ecuaciones diferenciales si en el curso de cálculo diferencial los eliminan con un limite? ¿Porque en una ecuación diferencial no eliminas el diferencial dx, dy con un límite y te deshaces de ellos como en el curso calculo diferencial 1? La respuesta es obvia sin diferenciales no es posible resolverlas entonces para que los destruyen en el curso de cálculo diferencial 1 sacando un límite 😂, una incoherencia. Es mejor enseñar que los diferenciales dx, dy son un concepto que permite desarrollar otra forma de matemáticas (siempre y cuando evitando caer en exceso de intuicion o en exceso de formalismos)
