FACTORISER À L'AMÉRICAINE 🇺🇸 

Quelle chance ont ses élèves....Jamais eu un prof aussi limpide dans les explications..Bravo m' sieur!

Oui, très habile ! Il y a 60 ans quand j’apprenais à résoudre les équations du 2e degré, on nous faisait d’abord chercher une "racine évidente" qui était en général un entier positif ou négatif entre 1 et 5. Pour vos exemples, ce serait 2 pour le premier et 3 pour le second. La factorisation par (x-2) ou (x-3) devient triviale.

La forme canonique reste quand même plus intéressante dans le sens où elle donne directement les coordonnées du maximum/minimun. Là, la tâche est simplifiée car les chiffres sont choisis de manière à éviter les fractions en coef, donc pas sûr que ce système anglo-saxon soit mieux

J'ai adoré. C'est de la logique, du bon sens et un peu de chance quand on teste la bonne solution du premier coup. Merci Professeur.

A prendre comme un défi, ok. C'est amusant et tu le présentes très bien, notamment son côté intuitif. Mais à DÉCONSEILLER TOTALEMENT comme méthode de résolution. En effet, elle est beaucoup plus compliquée qu'elle n'en a l'air, et elle ne marche pas dans de nombreux cas, notamment si une racine carrée ou un quotient doit intervenir. Si on ne trouve pas la factorisation est-ce parce qu'elle n'existe pas ou parce qu'on n'y est pas arrivé ? En toute logique, (mais ce n'est pas ce qui est recherché ici) , on devrait vérifier que la factorisation existe avant de la calculer. La méthode générale avec Delta est tellement efficace et rapide, pourquoi s'en priver? Comme tu l'as dit, pour s'amuser. 😉

salut Iman ! je trouve ça hyper intéressant, mais je dois reconnaître que c'est un peu trop dur pour moi, comme je fais tout de tête devant la vidéo, je dois mettre pause souvent pour distribuer et vérifier afin de comprendre ce que tu expliques. je n'ai pas les automatismes donc je mets du temps et je tombe dans les pièges. c'est vrai aussi que je suis sorti du scolaire depuis + de 20 ans, j'ai oublié beaucoup de choses, j'étais mauvais en maths à l'époque. delta je ne l'ai pas appris, ni pas mal de choses que tu abordes dans tes vidéos, mais je suis en mode maths loisirs (dit comme ça c'est clair que ça fait sourire) et ça me plaît vraiment d'apprendre avec toi, de comprendre des trucs que je ne comprenais pas à l'époque et de réviser mes classiques aussi. en tout cas tu es un excellent prof, on passe des très bons moments avec tes vidéos. attention juste à ralentir un peu le débit de paroles, des fois tu pars à des vitesses faut s'accrocher pour raisonner à ton rythme. sinon ta chaîne est vraiment top, je fais ta pub dans mon entourage ! à bientôt

Je la connaissais deja cette methode depuis longtemps mais cela me fait plaisir que vous en parliez. Pour completer vos explications j'ajoute que la methode c'est de trouver 2 nombres qui respectent ces 2 conditions y+z=b et yz=c et si c'est le cas alors on peut factoriser par les nombres obtenus, par contre sa marche que si a = 1. Par contre si a est different de 1 alors il faut utiliser une autre methode : En resume il faut faire la meme procedure que precedemment sauf que cette fois ci il faut trouver 2 nombres tels que y+z=b et yz=ac, si tel est possible alors on peut decomposer bx en yx+zx ensuite on pourra faire 2 factorisations partielles et le vrai facteur commun apparaitra. Et on pourra enfin tout factoriser

Aaaahhh le chainon manquant entre la racine évidente et le delta... ils sont trop fort ces américains ! Bravo pour cette vidéo.

Grand plaisir de découvrir cette méthode. Merci !

En Belgique on apprend cette technique à nos élèves de 3e :) on appelle ça "la factorisation somme-produit"

Quelle aisance dans votre présentation! Contenu très inspirant!

Brillant comme toujours !

Merci ! Toujours de supers conseils.

Think out the box : c'est tellement important de le rappeler, bravo!

C'est comme ça que je l'ai ré-appris en 2009 quand je allé reprendre des études au Qc. Tellement plus simple et rapide, y a pas photo. Sinon, excellente vidéo, pour le coup ti prends ton temps pour expliquer les choses en détail, vraiment super 👍👍👍

Bravo pour l'explication de cette approche! C'est vraiment une approche plus basée sur la logique et qui aide à raisonner en math. Et oui, les mathématiques ne sont pas _que_ des formules. Comme me disait souvent mes professeurs, regarde deux fois où est-ce que tu veux aller avant de sauter dans le premier train. Et c'est ça les maths; réfléchi à ce que tu veux obtenir, les formules ne servent qu'à t'aider dans ton cheminement :) Merci pour ce cours!

pour ax² + bx + c somme = b produit = ac trouver m et n tels que ax² + mx + nx + c = ax² + bx + c cad : m + n = b (somme) et : m * n = ac (produit) solutions m et n réelles que si somme carrée moins quatre fois le produit est plus grand que 0. après on factorise : ax² + mx d'un côté, et nx + c de l'autre. On a une somme de deux facteurs + deux facteurs. [ de forme : ax(bx +c) + d(bx +c) ]. On procède enfin à la deuxième étape : (ax + d)(bx+c) en refactorisant.

Vraiment très solide la pédagogie 😉 Et merci de nous faire repenser les maths

J'adore cette astuce ! Nos profs d'antan ne nous avaient jamais expliqué cette méthode, très "à la Colombo" 😊

Super vidéo !

Je cherchais cette méthode claire depuis des semaines pour faire réviser mes 3e ! Je n'avais que la méthode du discriminant (plus facile pour moi) en tête. Grâce à ça, il vont pouvoir factoriser ! Merci ;)

Super vidéo mr 😊

C'est du grand magnifique, comme d'habitude, merci professeur

Je ne connaissais pas cette méthode. Super.

Sympa, cette comparaison, merci :)

C'est toujours du génie de pédagogie !

évidement que ça ma plu et comme le disent certain quel prof !!!!!

Meilleur prof

Il y a 26 ans on voyait l"équation deu second degré en début de seconde. J'ai fait deux fois ma seconde avec deux profs différents, et on a vu ça en seconde, c'était même dans le manuel de seconde. Le fait qu'aujourd'hui ça soit vu en première montre le régressement du niveau. Bientôt on apprendra plus rien.

depuis que j'ai appris les résolutions d'équation du second degrés (en 3ème dans les années 1975 👆) je trouve que c'est la meilleur méthode, cause si t'as des racines fractionnaires, avec cette méthode, t'as intérêt à prévoir la boite de doliprane.... sinon, cette méthode, c'est un peu comme aller à la pêche en espérant pécher le gros poisson...

J'ai eu un excellent prof de maths, mais purée, j'aurais aimé vous avoir comme prof.

Pour le dernier exemple, on peut continuer un peu : (3x + 1)(2x - 3) = 3(x + 1/3) × 2(x - 3/2) … et on retombe bien sur la forme a(x - x1)(x - x2), avec les deux solutions -1/3 et 3/2.

😮😮😮😮😳😳😳😳 Bonjour Navid, Alors là tu m'as tué ! Tu veux dire que maintenant on apprend ça en début de 1ère, et orientée math en plus 🙄🙄🙄 Oj, je ne suis pas un perdraux de l'année, mais je me souviens avoir appris ça en fin de 3ème, en 79/80😬 Bon, j'ai malheureusement oublié bcp plus de choses que je n'en ai retenues, entre autres ça, mais je m'y suis remis. Et, meme si j'avais oublié la méthode, je me souviens très bien de ce que j'ai appris à cette époque. Hallucinant comment le niveau s'est effondré, même simplement en français. Votre chaîne devrait être reconnue d'utilité publique pour le travail que vous faites.

Il manque une hypothèse je pense : les nombres cherchés sont entiers car sinon on pourrait aussi factoriser avec des fractions non ?

Ha ha j'ai enfin compris ! J'ai grandi dans le système français, puis mes enfants ont grandi au Canada. Je ne comprenais rien quand ils se sont mis à faire ça en math; je leur disait: mais pourquoi votre prof il ne vous montre pas le delta??

Pour l'instant je suis par terre, quand je suis sorti de réa je te mets un commentaire. 🤣

Dans ces exemples, comment être sûr que les racines sont des nombres entiers ?

excellent.

Super comme d'habitude. Va falloir demander cette option dans les calculatrices, ce sera plus "american" pour les petits français.

Il me sauve la vie

Hello ! La méthode américaine pour le 3ème exemple est appelé méthode ac (a fois c). On cherche les 2 nombres (m et n) qui multipliés donnent ac, c'est à dire 6x .(-3) =-18, et dont la somme est b soit -7. Il est clair qu'il s'agit de -9 et 2 et on fait : E 6x² -9x +2x -3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (2x-3)(3x+1) Les solutions sont 9/6 cad 3/2 et -1/3 c'est à dire -m/a et -n/a.

x^2+x-6 = (x+1/2)^2 - (5/2)^2 = (x+1/2-5/2)(x+1/2+5/2) = (x-2)(x+3) Ben quoi, je vois pas le problème? OK, j'ai clairement été très formatté pour en arriver là. Cette technique est d'autant plus intéressante qu'en premiere (si on le fait encore?), on commence par la méthode la plus générale (et compliquée), et on finit par apprendre quand meme des propriétés simples comme x2- Sx + P. Apres si les racines ne sont pas entieres, bonne chance

On en redemande!

Wow! Ça me ramène 50 ans en arrière... ;-)

Il y a aussi la méthode qui se base sur le fait que le fonction soit paire et que donc, les racines x1 et x1 peuvent s'exprimer comme u+t et u-t. Et avec ça on redécouvre la formule du delta.

Habile, vraiment plus fun que la forme canonique 🥵

Toujours très utile de développer des astuces, et avec la perspicacité Toutefois ça ne marche qu'avec les nombres entiers. En effet si les solutions sont décimales ou complexes, je ne vois pas comment on peut les trouver

Pour le polynôme à résoudre 6x²-7x-3=0 , on peut passer de la forme ax²+bx+c à x²+bx+ac (superbe technique) --> nôtre polynôme initial devient alors x²-7x-18=0 puis on factorise par (x-9)(x+2)=0 (Ceci va être ma façon de décomposer bx) , on revient sur le polynôme du départ et on obtient alors 6x²-9x+2x-3=0 puis on factorise par 3x , 3x(2x-3)+(2x-3)=0 et de nouveau, on factorise par 2x-3 , on obtient alors (2x-3)(3x+1)=0 , c'est aussi simple que ça. Ou simplement passer par la complétion du carré: 6(x²-(7/6)x-(1/2))=0 , on résout uniquement x²-(7/6)x-(1/2)=0 ⇔ (x-(7/12))²-(7/12)²=(1/2) ⇔ (x-(7/12))²=(49/144)+(72/144) ⇔ (x-(7/12))²=(121/144) ⇔ √(x-(7/12))²=±√(121/144) ⇔ x-(7/12)=±(11/12) et enfin x=(7/12)±(11/12) ⇔ x=18/12=3/2 ou x=-4/12=-1/3 , le risque d'erreur est plus grand avec la complétion du carré, il faut être à l'aise avec la manipulation des fractions. Pour le polynôme x²-5x+8=0 , on peut utiliser les formules de Viète pour changer : x₁+x₂=-b/a ⇔ x₁+x₂=5 et x₁.x₂=c/a ⇔ x₁.x₂=8 puis on utilise l'identité remarquable (x₁+x₂)²=x₁²+x₂²+2x₁.x₂ ⇔ x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁.x₂=5²-2.8 ⇔ x₁²+x₂²=9 (On peut rapidement remarquer que ce polynôme n'admet pas de solutions réelles). Parce que supposément on a admis que x₁+x₂=5 et donc on pose la condition suivante : si x₁ et x₂ sont des réels, x₁²+x₂²>9 et non égal à 9, donc cela ne tient pas la route, c'est absurde et donc il n'y a pas de solutions dans R.

Bravo pour votre fluidité magique et merci pour la traduction de "quadratic forms" qui me fait penser aux moments quadratiques, c'est-à-dire à la performance des constructions, proportionnelle à l'éloignement des lieux communs ... dans tous les sens du terme ! Est-ce que cela vous inspire ?

Fais une vidéo sur les polynômes svp monsieur 🙏

Super explication de la "factorisation américaine". Une idée proche est également de vérifier s'il n'y a pas une racine évidente ( genre +1; +2 ;+3; ... et leur opposé). Cela permet de mettre (x-racine évidente) en facteur puis de compléter avec la même approche: Terme en x² et Terme constant. Méthode cousine de l'américaine 🤔?

Magnifique. Je me demande pourquoi on ne peut pas utiliser des fractions (non entières) comme solutions candidates si les coefficients sont entiers. Soit est ce que ab et a+b dans Z implique a et b dans Z ?

Excellent. Je ne connaissais pas cette approche. Ça vaut la peine de prendre quelques secondes avant de foncer sur un calcul de discriminant.

Un super bon prof ( Francis 61 ans)

Quand on finit par avoir l'habitude de factoriser, on factorise de cette manière. Il y a aussi la forme canonique qui est très pratique et qui permet également de retrouver la formule du discriminant

En prépa j'ai retenu x² - S.x + P où S est la somme des racines du polynome et P le produit des racines. ça aide à trouver le signe des facteurs

Je me suis régalé durant toute la vidéo, bien joué prof ! Juste pour savoir, le résultat de la factorisation ça nous fait résoudre les équations entre parenthèses si le polynôme du second degré était égal à 0 ?

pour le 1er exemple, dans les candidats possibles qui donnent -6 il y a aussi -racine 6* racine6

x2-Sx+P=0 Avec S la somme et P le produit

En gros c'est la méthode somme-produit

Les équations du 2e degré c'était en seconde. Enfin à la fin des années 80 en tout cas.

Mon fils a été dans une école qui lui a enseigné cette méthode au collège (nous habitions à l'étranger). Il m'a "pondu" des trinômes avec des chiffres au hasard et ... je me suis retrouvée à lui expliquer que si, y a des solutions, mais trop compliquées. Le coté satisfaisant, je ne sais pas s'il a vu. Pour ceux de ses copains qui fuyaient les "x", ce fut l'abandon des maths ...

Tu peux nous la refaire avec des facteurs exp, log et racine ? Je trouve que ça fait bien fonctionner le cerveau, mais ça a ses limites. Je comprends que le calcul de "delta" fasse robot, mais c'est uniquement parce que les élèves ne se souviennent pas du cours durant lequel on a validé cette méthode, je pense que c'est là qu'est le problème. On devrait ressasser certains cours plus longtemps. Merci pour tes vidéos 🙂

il me semble que mon fils a aussi appris comme ça à l'école (en plus du delta), c'était en Belgisue francophone

plutot genial

Très intéressant en effet, pour s'amuser. Un peu comme un sportif de haut niveau dans un sport et qui fait un autre sport en "dérivatif", pour se changer les idées, pour s'amuser. MAIS, cela doit rester de l'amusement, car la méthode n'est pas SYSTEMATIQUE. Si la solution n'est pas dans les nombres entiers, elle fait juste perdre du temps. Alors que la méthode avec Delta est rigoureuse, ce qui est pour moi la première qualité des mathématiques. De plus, on peut tomber sur des équations piégeuses, par exemple : x²-2x-1... Les racines sont 1+-sqrt(2)

Vraiment génial, je fais ça (presque) de tête maintenant :)

J’arrive à trouver au feeling les valeurs a et b de sorte qu’on ait : x2 + (a+b)x + a*b , mais sans savoir s’il existe une méthode à suivre.

Merci pour l'explication. Sinon, on peut aussi passer par la méthode de la racine évidente et de l'identification. Si r1 est une racine évidente, la factorisation est de la forme (x-r1)(x-r2) ou 'r2' est la deuxième racine. On développe et on a x²-x(r1+r2)+r1r2. D'où la formule aussi x²-Sx+P (où S est la somme des racines et P leur produit).

J'avoue ne pas être convaincu, la méthode ne marche que si les solutions ont le bon goût d'être entières (à la rigueur fractionnaires, mais la j'ai un doute). Si je devais utiliser une méthode "facile", je poserais bien les solutions comme étant égales à: x1 = u + √(v) x2 = u - √(v) Comme l'équation s'écrit: x² - S.x + P = 0 Où S = x1 + x2 et P =x1.x2, on n'a plus qu'à résoudre le système suivant: S = 2.u P = u² - v Je précise quand même que ce n'est pas une méthode que j'utilise habituellement, la méthode par le calcul de Δ est quand même très rapide.

J'ai dû avoir un bon prof de math pendant mon adolescence, car avant d'apprendre Delta, je factorisais comme ça, je ne sais plus si je le faisais de moi-même ou si je l'ai appris en cours. (ps : je suis belge)

abordable dès la quatrième, autre méthode: si a annule le trinôme alors (x - a) est un facteur donc l'idée est de chercher des racines "évidentes" de l'expression de départ

Deux nombres dont le produit est ac et la somme est b. Il ya aussi une autre method " Complete the square" pour resoudre l'equation et trouver le min ou le max (vertex)

Et un like à l’Américaine 👍👍👍👍

Pour le 2e exemple, sauf erreur de ma part, (-x+4)(-x+3) fonctionne aussi... :)

Avec des entiers, c'est assez facile, mais avec des fractions ou des réels non entiers, ça se complique.

Il y a 30 ans les américains avaient un niveau de math inférieur au notre ( J ai fais des études aux usa en master) aujourd'hui avec la baisse de niveau en France ils nous ont rattrapé 😮 Aujourd'hui avec la baisse de niveau en France je pense que

Une question... quand on a x² à factoriser, n'y a-t-il pas 2 possibilités ? [x * x] et [(-x) * (-x)] ?

Intéressant à connaître ! Mais finalement, la méthode française fonctionne tout le temps. Alors que la méthode américaine ne fonctionne bien que pour les quelques cas de factorisations les plus simples. On est vite limité... Bilan je préfère la méthode française. L'américaine est un bonus pour les cas simples si on veut.

Méthode intéressante (et à priori plus "naturelle" et simple que delta), mais il me semble que dès qu'on arrive à des nombres "compliqués" (comme les fractions ou puissances), connaître les formules de delta et des solutions est plus simple et plus efficace que chercher les solutions "à l'anglo-saxonne"

Ouch .... laborieux le système américain. Tout aussi compliqué pour moi que Delta 😢

Merci. autre particularité française: la manière de poser la division

Bonjour, pourquoi pour la dernière factorisation vous ne proposez pas -3x et -2x ou -6x et -1x pour obtenir le 6x^2?

Aussi les anglais utilise la complétion avec (b/2)²

A mon époque (putain, ça y est, je suis vieux....) on appelait cela chercher les racines évidentes. Et on faisait la factorisation directement

BRAAVVOOOOO!!!👍👍👍👍💥

En seconde je me suis amusé et j'ai pas bien travaillé les formes canoniques. Ça m'a perturbé jusqu'en terminale. Dès que j'ai compris ce truc, les équations et polynômes sont devenus amusants. PS: même chose pour la division euclidienne. Quand tu as tout ça dans ton arsenal, factoriser une fonction te fait toujours rire.

Sans trop "robotiser", on peut peut-être trouver une manière d'énoncer les différentes combinaisons dans un table, permettant de visualiser rapidement la bonne solution.

Cerveau explosé

Cette méthode, c'est comme ça qu'on explique les factorisations en fait à la base. Il s'agit de retrouver le produit en faisant comme si on faisait la double distributivité à l'envers. C'est d'ailleurs à ça que servent les identités remarquables (qui sont justes des doubles distributivités particulières et faciles à repérer lorsqu'elles sont sous la forme réduite ; remarquables donc). Bref, quand on commence la factorisation du 2nd degré en troisième, c'est comme ça qu'on l'explique aux élèves. Et ils se rendent vite compte que c'est très hasardeux comme méthode. Parce qu'il y a une infinité de façon d'obtenir x² autre que x*x (0,5x*2x par exemple) et pareil pour 6 (en nombres entiers, comme vous le faites, il n'y en a que 2, mais qui nous dit qu'il y a des nombres entiers dans la factorisation ?). Et c'est bien le problème de cette méthode, c'est qu'elle ne fonctionne que pour des cas très simples et évidents, bref, des cas spécialement fait pour ça, comme tous vos exemples. D'où sa limitation. Si je donne un polynome du second degré au hasard, il n'y a presqu'aucune chance que je puisse le factoriser ainsi (tiens au pif x²-30x+12. On va galérer un moment en faisant ainsi, alors que c'est factorisable). D'où la méthode par recherche d'identités remarquables qu'on complète (et donc le discriminant ensuite) qui est bien plus universelle. Après, faire comme ça au début permet effectivement d'être à l'aise dans le calcul littéral, et en cela ça reste intéressant.

J'adore la chaîne ! Mais ici, un gros manque de rigueur en calculant delta pour vérifier que ça ne fonctionne pas. x²+x-1 n'est pas factorisable avec cette méthode mais a bien un discriminant positif.

Je me pose quand même le problème d'expliquer le résultat sur la feuille qui va être corrigée par un prof qui ne va pas voir de raisonnement déductif

Perso j'ai cherché une solution "évidente" : j'ai trouvé -3 ! J'ai donc factorisé par (x - (-3)), soit (x + 3) et j'ai cherché ce qu'il manque dans l'autre facteur.

peut etre que ca a deja ete dit, j'avoue ne pas avoir lu les commentaires precedents, mais pour la derniere il n'y a pas que ces 2 possibilités en effet, 6=(+ -)3 * (+ -) 2 ou (+ -)6 * (+ -)1 , soit 4 possibilités et pas 2 sinon, tres interessant quand meme, comme d'hab

Oui mais ca ne marche que pour des racines entieres.

Haha 😂facile merci beaucoup

C'est cool ces petits tours d'horizon. Je trouve qd meme plus rapide de chercher la racine R du polynome et de factoriser par (x-R)

acx² + (ad+bc)x + bd => (ax + b)(cx + d)

Pour la dernière je décompose. -3×6=-18 -18=-9×2 => -9+2=7 6x²-7x-3=6x²+2x-9x-3 =2x(3x+1)-3(3x+1) =(2x-3)(3x+1)

Ça me paraît bien long pour trouver la racine évidente 2, puis le produit des racines est égal à moins 6