RÉSOUDRE UN SYSTÈME INÉDIT... ou pas 😅 

Une solution qui me paraît plus élégante consiste à commencer par élever (xy=6) au carré ce qui donne (x2y2=36). On fait tout de suite le changement de variable X=x2 et Y=y2. Le système à résoudre devient alors (X-Y=5) et (XY=36). La suite est la même. Cela évite non seulement les racines mais aussi les x4 et la discussion sur les fractions puisqu'on peut ne pas en mettre. En effet (X-Y)=5 donne (X=Y+5) que l'on met dans la deuxième. On a alors l'équation du second degré (Y2+5Y-36=0).

J'avoue n'avoir rien compris mais c'est toujours un plaisir de voir vos vidéos, merci.

excellent exo' avec changement de variable pour trouver les solutions du système. cool ! 😊

Comme c'est facile quand c'est bien expliqué..❤

explications très claires comme d'hab, je serais juste passé par t=x2 un peu plus tôt pour ne pas faire apparaitre le x4 qui peut faire peur

EXELLENTE EXPLICATION C'est genial 🥰

y = 6/x (ou x = 6/y si on veut) Ne pas oublier de poser que x 0 (y aussi) comme Conditions d'Existence

Très intéressant, merci ! J'ai fait un peu différemment : x^2 - y^2 = 5 => x^2 = (5 + y^2) xy = 6 => (xy)^2 = 6^2 (xy)^2 - 6^2 = 0 (x^2 * y^2) - 36 = 0 On substitue x^2 : (5 + y^2) * y^2 -36 = 0 (y^2)^2 + 5*y^2 - 36 = 0 Soit A = y^2 : A^2 + 5*A - 36 = 0 Delta = b^2 - 4ac = 25 - (4 * -36) = 169 A1 = -b + Rac2(Delta) / 2a = (-5 + 13) / 2 = 4 A2 = -b - Rac2(Delta) / 2a = (-5 -13) / 2 = -9 Donc y^2 = 4 ou -9, la 2ème solution ne va pas, donc y^2 = 4 et donc y1=2 ou y2=-2 Retour au système de l'énoncé : x * y = 6 x = 6 / y x1 = 6 / y1 = 6 / 2 = 3 x2 = 6 / y2 = 6 / -2 = -3 Solutions = { 3 ; 2 } ou { -3 ; -2 }

Autre solution : - Élever les 2 égalités au carré pour obtenir x⁴ - 2x²y² + y⁴ = 25 et x²y² = 36 - Faire 4x²y² + x⁴ - 2x²y² + y⁴ ce qui revient à x⁴ + 2x²y² + y⁴ et qui est égal à 4 × 36 + 25 donc 169. - Or, x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)² = 169. Donc x² + y² = 13 (pas -13 car la somme de deux carrés ne peut pas être négative). - En additionnant cette égalité avec l'égalité de départ, on a 2x² = 18 donc x = ±3. Ainsi en remplaçant x par ±3 dans la deuxième égalité de départ, on obtient y = ±2 et donc 2 couples de solutions : (3 ; 2) et (-3 ; -2).

je suis toujours aussi reconnaissante d'avoir parmi mes nombreuses notifications la sortie de vos vidéos, j'essaie à chaque fois de résoudre les problèmes ou calculs proposés dans les miniatures, et je m'amuse encore plus à trouver la solution et suivre la démarche grâce à votre explication, ça fait maintenant un moment que je regarde vos vidéos et elles me passionnent toujours autant, continuez ainsi !! ^^

Une petite erreur que j’ai faite lors de la substitution avec que des racines négatives alors qu’une était bel et bien positive. Merci pour cette vidéo. 😊

Cool, ça permet de voir la résolution d'un systême, le changement de variable et les identités remarquables. C'est du "en même temps"... Hi.😁

Tankiou véri mout'ch !

Je crois que ce système revient à trouver les complexes qui au carré valent 12i + 5 (les racines de 12i + 5 en gros)

On peut aller encore plus vite en utilisant la technique de la somme et du produit des racines d'une fonction polynôme du second degré : on pose X=x^2 et Y=-y^2. On a X+Y=9 et XY=-(xy)^2=--36. L'unique couple (X,Y) solution de ce système (on sait qu'il n'y en a qu'un) est évident à trouver de tête : X=9 et Y=-4. Cela donne x^2=9 et y^2=4, ce qui mène aux deux couples solutions en tenant compte du fait que xy=6, à savoir (x,y)=(3,2) ou (x,y)=(-3,-2).

tu ma bien eu ce coup ci ! g cru ct impossible de tete alors que les solutions etaient evidentes des le debut ! moi qui prend tj des entiers pour me faire une idee mentale ... ceci dit j'aurais bien voulu savoir ce q ca donne dans C ! salut

Sinon il y a une manière de résoudre en utilisant les complexes en faisant (1)+2i(2) on obtient (x+iy)^2=5+12i et à ce moment il faut trouver les racines carrées d'un nombre complexe, niveau L1, et on trouve bien les bonnes solutions en travaillant les identités Trigo au corps. Puis il faut vérifier les solutions car l'équation que l'on a écrit est une implication des équations de base pas une équivalence.

Ah, ça me rappelle ma jeunesse...

super intéressant mais est-ce possible de résoudre ce système avec la méthode de combinaison ?

J'ai trouvé X et Y sans faire les calculs. Juste poser X (ou Y) = 1 ou 2 ou 3 ou 6 car il doivent être dans la table de 6 puis je me suis aidé de X² et Y² et le tour est joué 😊

il faudrait indiquer que c'est dans R et x0 / ou resoudre dans R+ :)

Y'a aussi le fait que x² - y² pour y = x+1 qui est égal soit a 1, 3, 5, 7 dépendement de x

Réponse assez simple en soi, sans passer par les calculs et en tâtonnant. La justification du calcul ? "Parce que ça se voit !" (Comment mettre un prof de maths en PLS 😂😂) Même si le passage par le calcul est bigrement sympathique 🙂

Bien préciser dans R, car dans C il y a deux autres couples de solution : (-2i, 3i) ; (2i, -3i)

(x+y)(x-y) = 5 donc on pourrait avoir x+y = 5 et x-y = 1, et ça donne la solution. Ben si c'est utile. L'équation étant quadratique on s'attend à deux solutions, la deuxième est clairement x → -x et y → -y.

Avec les "réformes", est-ce que ça peut être sujet de bac Spécialité ou de Grand Oral Blanquer?

Moi j'ai commencé par écrire (xy)²=36 x²y²=36. Ensuite, comme on a x²=y²+5, on peut écrire (y²+5)y²=36 y^4+5y²-36=0. On pose alors Y=y², ce qui donne Y²+5Y-36=0. Δ=169, ce qui donne Y1=4 et Y2=-9. Comme on est dans R, on en déduit que y²=4 y=2 ou - 2, et donc x=6/y=3 ou -3.

Plus simple. (x-y)y*(x+y)=5=5*1=1*5 Soit 4 (avec les signes) systèmes de 2eq à 2 inconnues...4 paires de sol dont 2 vérifient x-y=6.

Moi, en fait, j’ai utilisé l’identité remarquable du début et en la mettant tout au carre : [(x+y)(x-y)] ²=25, on se retrouve avec (x+y) ²(x-y) ²=25 ….Se qui nous donne (x²+y²+12)(x²+y²-12)=25….. (12 étant 2xy que l’on connait déjà) se qui nous donne (x²+y²)² -144=25……Je passe 25 de l’autre coté et ça devient (x²+y²)²=169…. Donc (x²+y²)=13 ou -13 …. En rajoutant le 2xy (12) ça donne a la fin (x+y) ²=25 ; (13+12) donc √(x+y)= √25 = x+y=5….. et a partir de là, suscitions x=(5-y), donc (y-5)y=6, -y²+5y=6 et par factorisation a la fin on trouve : y=3 ; y=2……j’aurais pu le faire avec - 13 aussi mais je me suis arrêté là… Mais j’ai bien aimé cette autre façon c’est toujours bon de s’entrainer avec des fractions aussi et de connaitre d’autre approches… merci beaucoup pour toutes vos vidéos …

Tu pouvais même résoudre le système graphiquement en traçant t'es hyperboles. En plus tu as de la chance, les solutions sont entières.

Toijours limpides et meme ludiques ses videos !

Bonjour j'ai pris un raccourci. En effet j'ai tout de suite vu que 2x3 = 6 et (3)² - (2)² = 5 donc x= -2 / y= -3 OU x= 2 / y= 3 CQFD Bonne journée !

1) x2 - y2 = 5 2) xy = 6 de là je sors x = 6/y que je ré-injecte dans la première égalité, ce qui donne : (6/y)2 - y2 = 5 je mets tout au même dénominateur et j’obtiens : 36 - y4 = 5y2 => - y4 - 5y2 + 36 = 0 soit Y = y2 alors on obtient la nouvelle équation -Y2 -5Y + 36 = 0 Delta vaut (-5)2 - (-4x36) = -25 + 144 = 119 delta > 0 donc deux solutions : Y = (5 - √119)/(-2) et Y = (5 + √119)/(-2) Or Y =y2 donc y = √[(5 - √119)/(-2)] et -√[(5 - √119)/(-2)] l’autre étant impossible puisque (5 + √119)/(-2) est négatif. De l’égalité 1) en remplaçant y par ses valeurs possibles on obtient : x2 - (5 - √119)/(-2) = 5 autrement dit x2 + (5 - √119)/2 = 5 ET x2 + (5 - √119)/(-2) = 5 (impossible puisque (15 - √119)/2 est négatif D’où x2 = 5 - (5 - √119)/2 = (5 + √119)/2 et x = √[(5 + √119)/2] et - √[(5 + √119)/2] les solutions sont donc pour x { √[(5 + √119)/2]; - √[(5 + √119)/2] } pour y { √[(5 - √119)/(-2)]; -√[(5 - √119)/(-2)] } … Aïe aïe aïe je sens que j’ai dû me planter quelque part les solutions sont trop moches loooooooooool

Retour 45 ans en arrière... Souvenirs

Ha ben pour une fois je ne me suis pas lancé dans les remplacement d'une variable dans une des équations et je suis allé directement aux solutions évidentes : xy = 6 |x| > |y| donc on test x=3 ; y=2 et x=-3 et y=-2 ça fonctionne si on remplace dans l'autre équation donc j'aurais mis ça sur ma copie. Est-ce que ça serait valide pour un prof de math ?

Si on est dans R, c'est un peu dommage (et complétement faux) de dire que (x+y)(x-y)=5 ne mène nul part ! les solutions possibles sont 5*1 et -1*-5 ! Je pense que ça aurait été plus simple et plus rapide !

En utilisant seulement la première équation, nous avons la solution : x²-y²=5 (x-y)*(x+y)=5; nous cherchons tous les diviseurs de 5 dans Z (les entiers relatifs) et on obtient [1,5] et [-5,-1] et nous pouvons attribué les valeurs à (x-y) et (x+y) avec (x-y)x=3 et nous substituons 3 dans (eq1) ou (eq2) et nous trouvons y=2 nous vérifions avec x²-y² et nous trouvons bien x²-y²=5, et x*y=6 [(3,2) solution dans N, Z, R et C]. Ensuite la deuxième solution : (x+y)=-5 (eq1) et (x-y)=-1 (eq2) même système de 2 équations à deux inconnues avec une résolution simple : 2x=-6 --> x=-3 et nous substituons -3 dans (x+y)=-5 par exemple et nous obtenons y=-2 [(-3,-2)solution dans Z, R et C] - nous vérifions : x²-y²= (-3)²-(-2)²=5 et (-3)*(-2)=6. Cela évite les systèmes quadratiques et les équations bicarrées (rappelons nous du rasoir d'Ockham). Par contre, pour faire plus compliqué, je ne me souviens plus très bien si l'on peut trouver une solution générale comme équation diophantienne de degré 2. (peut-être un tutoriel sur les solutions d'une équation diophantienne de différents ordres). Dans C il y aura deux autres solutions : (2i, -3i) et (-2i, 3i). Il y a une petite erreur de frappe dans le cadre à développer où il y a le nombre de vues, en dessous de la date du tuto 19 mai 2024, xy=6 et non xy=5. Merci.

Fallait mentionné dans quel domaine de définition , R ou Z

j'ai trouvé de manière intuitive avec xy=6 je me suis dit que ça marchait avec 3 et 2 et -3 et -2 et j'ai vérifie que ça marchait pour la première équation.

Beaucoup plus simple : xy=6 et x plus grand que y d'après la première donc 3x2 ou 6X1. 6x1 ne marche pas dans la première donc x=3 et y=2. Comme c'est des carrés, c'est aussi -3 et -2.

(-9*4=-36) et (-9+4=-5) d'où (t-9)(t+4)=t²-5t-36, pour éviter de passer par le delta

j'adore tes videos,mais il faut que tu parle moins vite et que tu articule plus

Roooh fastoche, L1 + 2*L2, et hop on a une identité remarquable et euh... non ok, je sors

Passer par (x-y)(x+y)=5 a un intérêt : trouver la réponse très rapidement de manière intuitive. Comme 5 est un nombre premier, un produit de deux nombres N qui donne 5 est forcément 5*1 (oui, je sais, j'ai aucune preuve que c'est dans N, mais intuitivement ça paraissait plus naturel) Dans la première équation les inconnus sont mis au carré donc osef du signe, dans la deuxième ils sont multipliés et donnent un résultat positif. Donc les réponses sont {|x| ; |y|} OU {-|x| ; -|y|}. Bon, maintenant que tout ça est dégrossi, on tente de résoudre le système x+y=5 x-y=1 (Puisque une des réponses possibles est forcément composée de x et y positifs, il semble plus intuitif que l'addition donne le plus gros résultat) x-y=1 x=y+1 y+1+y=5 2y=4 y=2 x=y+1=2+1=3 On n'oublie pas que le signe n'a aucune importance du moment qu'ils sont identiques, donc on trouve deux solutions : {3 ; 2} et {-3 ; -2} Bon ok, c'était un peu long à écrire, mais dans la réalité ça m'a permis de trouver ces résultats de tête en moins de 30 secondes. Après, bien sûr, ce n'est pas une démonstration rigoureuse, et rien ne me dit que j'ai trouvé toutes les solutions. J'ai donc ensuite appliqué la même méthode de résolution que dans la vidéo, ce qui m'a permis de constater que ma méthode intuitive m'avait fait passer à coté de deux autres solutions : {2i ; -3i} et {-2i ; 3i} (Au passage, ce serait cool de préciser "dans R" dès l'énoncé et non au milieu de la vidéo.)

3 X 2 = 6 , comme x carré - y carré = 5 j'ai vu x carré > y carré donc j'ai essayé x = 3 et y = 2 et ca a marché puis je me suis dit c'est xy qui est positif donc j'essayé x=-3 et y=-2 et ca marche aussi.

Allez, j'y vais aussi de ma petite variante! 😊 Perso j'ai élevé la 2ème équation au carré : x²y² = 36, puis j'ai réécrit le système ainsi: x² + (-y²) = 5 x² × (-y²) = -36 On connait la somme (S) et le produit (P) de x² et -y², ceux-ci sont donc solutions de l'équation X² - S.X + P = 0 (avec notation "grand X" pour ne pas confondre avec la variable x du système). Soit: X² - 5X - 36 = 0. Les solutions sont -4 et 9 comme dit dans la vidéo. x² est positif, -y² est négatif, et comme on est dans R on peut identifier les variables de manière unique: x² = 9 -y² = -4, soit y² = 4 Donc x = 3 ou -3, et y = 2 ou -2. La il faut faire attention, on a 4 couples de valeurs possibles, mais tous ne conviennent pas : il faut vérifier xy = 6. L'équation x² - y² = 5 est toujours vérifiée, donc pas de problème pour celle là. On en déduit les solutions (3, 2) et (-3, -2).

Je n'ai pas été jusqu'au bout et ai directement trouvé en testant les nombres entiers. Je vous envoie ce message alors que vous êtes toujours occupé...

prof. Solution > A) x=2 e Y=3; XY=6. B)> significato geometrico del problema? : si tratta di due tangenti geometriche ottenute sui tre lati nel triangolo pitagorico [3-4-5],il cui cerchio interno determina tre coppie di tangenti geometriche sui lati che valgono >1-2-3; dove 2 e 3 sono le tangenti sull'ipotenusa quindi la loro somma> [2+3)]=5; il prodotto XY = 2*3 = delle due tangenti determina il valore dell'area del triangolo pitagorico. Saluts. [ li, 19 /V/2024]

Oui mais plus simplement (x-y)(x+y)=5=1*5=(-1)(-5) Et par identification : x-y=1 ou x-y=-1 et x+y=5 ou x+y=-5 Comme xy=6=2*3=(-2)(-3) Il vient x,y : (2,3) ou (-2,-3)

C'était pas préciser si on était dan R ou C alors j'ai tout fait avant de regarder la vidéo, j'ai fait différemment pour le début : x^2 - y^2 = 5 xy = 6 x^2 = 5 + y^2 x^2y^2 = 36 (5 + y^2)y^2 = 36 Y = y^2 Y^2 + 5Y - 36 = 0 Delta = 25 + 144 = 169 Y = (-5 +- 13) / 2 = {-9 ; 4 } y^2 = {-9 ; 4 } y = {-3i;3i;-2;2} -3ix = 6 3ix = 6 -2x = 6 2x = 6 x = {-2i;2i;-3;3} S = {(2i,-3i),(-2i,3i),(-3,-2),(3,2)}

Perso je suis parti sur (x+iy) ^2=5+12i, du coup on a : x^2+y^2=|x+iy|^2=|(x+iy)^2|=|5+12i|=13 donc x^2=9 et y^2=4, avec xy>0 donc x et y de même signe

(x-y)²-2xy=5 x-y=5+2(6) x-y=17 et xy =6 plus simple

Pourquoi ne pas utiliser x*2+(-y*2)=S et x*2.y*2=p.ensuite X*2-SX+P=0 sachant que x et y de même sens

Juste à l'intuition je m'étais dit que 6 = 3*2. En remplaçant x par 3 et y par 2 j'avais au moins trouvé une solution 😆

x²(-y²)=-36 x²-y²=5 a²-5a-36=0 (a-9)(a+4)=0 a=9 ou a=-4 x²=9.y²=4 X=±3 ,y=±2

L'équation est evidante donc pas besoin de changement de variable .il suffit de décomposer cinq x au carré en quatre x au carré moins neuf x au carré et le résultat est imédiat

Eh bien pour une fois, je ne suis pas d'accord avec le maître. J'ai eu le réflexe de convertir la 1ère équation en (x+y)(x-y) = 5. Or, d'après la 2ème equation, on sait que x et y ne peuvent être indifféremment que 1 et 6 (-1 et-6) ou 2 et 3 (-2 et-3). Or, la première solution n'est pas envisageable dans la 1ere équation. Et la deuxième fonctionne ! On sait que x>y en valeur absolue. Donc S = {(-3;-2) ; (3;2)} sans papier et crayon, en trois minutes peut-être ? Le maître me retorquera peut être que je suis parti du principe que x et y étaient des entiers naturels, alors que l'énoncé ne le spécifiait pas ?

4:52 Pourquoi on nous apprend pas la méthode factorisation /somme plébiscité chez les anglophones? t²-5t-36=0 -36=-9×4 -5=-9+4 Ainsi 0= t²-9t+4t-9×4 0= t(t-9)+4(t-9) 0= (t-9)(t+4) Soit t=9 ou t=-4 Etc...

Oui mais les couples (-2;3) et (2;-3) ne fonctionnent pas.

S'il vous plait vous pouvez parler plus fort on n'entend pas bien merci 😊😊😊😊😊

Je voudrais tenter quelque chose (et votre point de vue me serait utile, SVP)🙂: | x² - y² = 5 | | xy = 6 | x² + y² = 5 | | x²y² = 36 soit X = x² soit Y = -y² | X + Y = 5 | | XY = -36 | X + Y = 5 = S (comme Somme) | | XY = -36 = P (comme Produit) rappel: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ les racines de z² - Sz + P = 0 sont X et Y ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ application: z² - 5z - 36 = 0 Δ = 5² - 4·1·(-36) = 25 + 144 = 169 √Δ = ±√69 ±13 • racine #1: z = X = (-(-5) + 13)/2·1 = 18/2 = 9 • racine #2: z = Y = (-(-5) - 13)/2·1 = -8/2 = -4 ----- X = 9 ----- rappel: x² = X x² = 9 -------------- | x = ±3 | -------------- ----- Y = -4 ----- rappel: -y² = Y -y² = -4 y² = 4 -------------- | y = ±2 | -------------- (fin)

inutile de passer par une fraction, il suffit de multiplier à gauche et a droite par x carré non nul

j'ai pas compris

xy = 6 => y = 6/x x^2 - y^2 = x^2 - (6/x)^2 = 5 x^4 - 36 = 5x^2 x^4 - 5x^2 - 36 = 0 (x^2 - 9)(x^2 + 4) = 0 x ^2 = 9, x = +/- 3, y = +/- 2 (x, y) = (3, 2), (-3, -2) x ^2 = - 4, x = +/- 2i, y = -/+ 3i (x, y) = (2i, -3i), (-2i, 3i)

x² - y² = 5 xy = 6 (6/y)² - y² = 5 36/y² -y² = 5 36/y² - y4/y² = 5y²/y² 36 - y4 = 5y² y4 + 5y² - 36 = 0 Soit Y = y² Y² + 5Y - 36 = 0 D=25+144=169 Y'= (-5 - 13)/2 = -9 Y"= (-5 + 13)/2 = 4 y² = -9 : Impossible y² = 4 : y = 2 ou -2 x = 6/y x = 3 si y = 2 ou -3 si y = -2 ainsi on a la solution S={{x=3,y=2},{x=-3,y=-2}}

p P M Mp😊

J’ai 75 ans et je regarde toujours passionnément toutes tes vidéos. Mais si tu pouvais parler un peu moins vite… Je sais, c’est générationnel , les jeunes parlent très vite, et donc articulent mal et l’ancienne école a un peu de mal à suivre. Bien amicalement.

Wesh, les bots...humm