Bonjour, je suis un élève en première passionné de mathématiques, et votre vidéo est si bien expliquée que j'ai réussi à comprendre la valeur de cette fameuse intégrale, merci. Car en essayant dans mon coin et avec des changements variables infructueux j'avais pas réussi
Merci pour cette vidéo très intéressante (le niveau de son est beaucoup trop bas cependant) On peut argumenter que la transformation polaire n'est pas une bijection au centre 0 car l'angle est ambigü à cet endroit. On peut se débarrasser du problème en imposant r > 0 et ça ne change pas la valeur de l'intégrale.
Superbe vidéo !!! Je remarque que vous précisez à la fin que l’intégrale est positive en soulignant que pour tout x réel exp(-x^2) est tjrs positif, il faudrait peut être préciser alors que les bornes sont dans le bon ordre pour pouvoir affirmer que I est positive. Même si il est trivial que -infini est inférieur à +infini.
Merci pour la vidéo. Mais j'ai pas compris pourquoi dans le changement de variable on doit multiplier par la jacobienne? on devrais trouver la même chose si on fait juste le calcule dxdy derivant x et y (dans les coord polaires)? car je tombe sur un calcul long que et j'arrive pas à trouver rdtetadr
Bonjour, il n'est pas si évident de traiter le cas d'une intégrale sur un disque (ou sur une boule en 3 dimensions) en intégrant successivement selon x et selon y. Le problème est que x et y ne sont pas définis séparément comme, disons, x(r), y(theta) et nous pourrions les traiter séparément. Ici le changement de variable est véritablement deux-dimensionnel x dépend à la fois de r et theta, et y également. C'est pour cela qu'il faut introduire l'idée du jacobien, ce qui n'est pas évident en comparaison au cas uni-dimensionnel
Le point (0,0) a plusieurs représentations r=0, θ quelconque, donc c'est un problème du point de vue de la bijection ! Il ne peut pas être représenté de façon unique en coordonnées polaires Pour rendre l'argument de la vidéo plus rigoureux, il faudrait en réalité intégrer sur une région excluant zéro. Cependant, cela ne change pas la valeur de l'intégrale ! En effet, retirer un seul point d'une intégrale ne changera pas sa valeur. En effet, tu peux te convaincre que la contribution du point (0,0) à l'intégrale est nulle, en imaginant intégrer sur une très petite région de rayon R entourant 0 et en prenant la limite R->0, l'intégrale sur cette région deviendrait nulle.
Bonjour, la demonstration superbement bien faite. Mais J'ai un soucis : si au lieu d'integrer entre 0 et 2pi pour teta et 0 et l'inf pour r, on intergre entre 0 et pi pour teta et -l'inf +l'infi pour r, on decrit le meme espace, non? Pourtant on a pas la meme solution (ds ce cas litigieux on a 0 ce qui m'etonne...) Vous pouvez expliquer pourquoi c'est sans dout eune erreur de proceder ainsi? Merci d'avance
Merci pour ton commentaire. En fait, ce serait possible d'intégrer comme tu le proposes mais dans ce cas on n'aurait pas que la valeur absolue du jacobien est simplement r, puisque r n'est plus forcément positif. Il faudrait donc garder la valeur absolue |r|.
@@vector7669 Merci! C'est vrai qu'en raisonnant en terme de "volume" sous la surface, On se retrouvat du coup avec un volume negatif pour les r negatifs, ca me perturbait un peu . . Ca ne me servira sans doute jamais mais c'est toujours sympa de comprendre un truc. :)
Si tu parles de l'existence d'une primitive de exp(-x²) en terme de fonctions élémentaires, il a en effet été prouvé que ça n'existait pas. (math.hunter.cuny.edu/ksda/papers/rick_09_02.pdf ). Généralement, on appelle cette primitive "l'error function" erf(x).
Bonjour très bonne vidéo j'aurais juste une question : Pourquoi le changement en coordonnées polaires, une raison particulière pour laquelle on ne peut pas rester en cartesiennes ou être obligé de passer en polaire? Merci d'avance
Tout l'objectif de cette approche est d'utiliser les intégrales doubles et les changements de coordonnées pour calculer une intégrale qu'on n'aurait pas su calculer autrement. Le problème est qu'on ne connaît pas de primitive de exp(-x²), donc si l'on reste en cartésien, on aurait toujours le même problème pour calculer les intégrales successives selon x et y. En revanche, on connaît une primitive de r exp(-r²). Donc les coordonnées polaires servent juste à faire "apparaître" ce r grâce au changement de variable dx dy = r dr dθ. De façon générale, lorsqu'on fait face à une intégrale à symétrie sphérique (qui ne dépend que de la norme du vecteur) sur R^n, il est très pratique de passer aux coordonnées sphériques car l'intégrale multiple se réduit alors à une seule intégrale radiale.
Quitte à détailler il faudrait detailler le thm de fubini qui permet d’echanger les integrales ou de separer l’´integrale double. Ici c’est tres simple puisque la fonction est positive. Par contre l’explication du changement de variable est tres claire ce qui n’est pas courant et qui pose beaucoup de soucis aux étudiants. Merci Sur quelle logiciel ecrivez vous ?
Pour le théorème de Fubini, j'en ai donné une preuve dans une autre vidéo, mais vous avez raison j'aurais pu préciser. En revanche dans ce cas précis il ne me semble pas qu'il y ait de subtilité dans la commutation d'intégrales, vu que les intégrations sont séparées (fubini est trivial sur f(x)*g(y)) J'utilise Notability sur iPad, il y a aussi Goodnotes qui est bien
Merci à vous Pour Fubini ce n’etait pas une critique mais un complément pour ceux qui le souhaitent Tres bonnes vidéos, cela me rappelle de bons souvenirs. Encore merci
Il existe différentes méthodes (plus longues) pour calculer l'intégrale de Gauss en 2e année de prépa mais les outils de résolution présentés ici ne sont pas au programme de Maths Spé.
@@dylanmarin2363 pas vraiment cette methode est plus longues, ce qu'on a vu en prepa: il suffit de remarquer que la fonction exp(-x²) est paire pour avoir des bornes entre 0 et +infini,puis proceder par un changement de variable et on obtiendra la fonction gamma de x puis remplacer pour avoir le résultat.
mohamed Barça Je comprends pas, déjà la fonction gamma n’est pas strictement au programme donc il faudrait refaire toute l’etude. Ensuite très bien tu dis que c’est Γ(1/2) mai tu tournes en boucle puisque pour trouver la valeur en 1/2 tu as besoin du résultat sur l’intégrale de Gauss.
Désolé à 2:00 il manque un théorème pour justifier ce que vous faites. Que ce soit à l'oral ou à l'écrit, sans justification, c'est la condamnation :).
Effectivement, je ne fais pas dans cette vidéo une théorie de l'intégration, et j'utilise des résultats qui pour nous sont "évidents". Il est courant de définir l'intégrale sur R^n directement comme l'intégration successive de toutes les variables, et dans ce cas le théorème de Fubini, que j'ai démontré dans une autre vidéo, consiste juste à prouver la commutativité. Mais il est vrai que les mathématiciens généralisent le concept d'intégration à des espaces munis d'une mesure, et prouvent que l'on peut en général calculer l'intégrale double avec la mesure de l'espace produit en intégrant successivement sur la mesure de chaque espace. Tout dépend de nos définitions, mais je n'irai pas jusqu'à parler de condamnation.
@@vector7669 Non, pas de condamnation, bien entendu, c'était du second degré. Je me disais juste que sur une copie d'agrèg ou à l'oral, ça ne passait pas... Mais bon le but n'est pas le même.
Merci pour ce commentaire. Pour donner plus de détails sur le changement de variable: On intègre d'abord sur un domaine V, puis on fait un changement de variables en utilisant la transformation (x,y) = phi(r,theta) : U -> V. Pour déterminer le nouveau domaine d'intégration U, il faut trouver le domaine tel que phi est surjective (tout V est généré) et injective (U est le "plus petit possible") donc bijective sur U. Ici V=R². Les coordonnées polaires permettent de remarquer que tout (x,y) dans V = R² peut être représenté de façon UNIQUE (=> injectivié) par un angle theta entre 0 et 2π, et un rayon r entre 0 et ∞, donc le domaine U = [0,∞[ x [0,2π[, on a bien phi([0,∞[,[0,2π[) = R². Pour se représenter ce que phi([0,∞[,[0,2π[), représente toi phi(r,theta) et fait varier r dans [0,∞[ et theta dans [0,2π[. Pour une transformation plus compliquée, ou l'intuition ne suffirait pas à trouver un domaine U, il faudrait trouver la fonction inverse de phi, et déterminer U = inverse_phi(V).
@@vector7669 Bonjour, je ne vois pas l’injectivité notamment pour le couple (0,0) en cartésiennes qui a une infinité de représentations en polaire, comme peut on donc justifier ce cas ?
@@antoninv2332 Effectivement, on se fait facilement avoir avec ces justifications ! Pour avoir injectivité, il faut retirer (x,y) = (0,0) et r = 0 des domaines de définition de V et U. Comme on ne peut pas exclure 0 d'une borne d'intégration, on est obligé d'utiliser des espaces Veps et Ueps où on exclu 0 en s'arrêtant à eps (petit). Ueps= [eps,∞[ x [0,2π[ et Veps est l'espace correspondant en x,y dont on n'explicite pas les valeurs. Le changement de variable fonctionne avec ces espaces : l'intégrale Aeps en x,y sur Veps est égale à l'intégrale Beps en theta,phi sur Ueps. Chacune de ces intégrales converge vers les 2 intégrales précédentes, alors on peut garder l'égalité pour les intégrales avec les espaces de définition U et V complets. Cela marche parce que la fonction a une valeur bornée au point problématique et la surface en 1 seul point est nulle, donc la valeur de l'intégrale à l'endroit problématique est nulle.
8:34... en tant que physicien, je prends nettement moins de pincettes pour le passage de (x,y) à (r,theta)... c'est quand même un truc que les étudiants doivent connaître par cœur, et qui est généralement vu en début de filière post-bac (en électrostatique par exemple...) l'élément de l'espace infinitésimal en cartésien, c'est dx dy en cylindre : r dr dtheta un petit schéma et c'est terminé (et au passage, on s'attache à bien regarder si l'expression est homogène à ce que l'on veut, cela ne fait jamais de mal) tout comme en 3D : cartésien : dx dy dz cylindrique : r dr dtheta dz sphérique : r^2 sin phi dr dtheta dphi le passage par le jacobien est plus rigoureux certes (et arrive au même résultat)
C'est bien d'avoir une intuition, j'aurais peut-être également pu mentionner cette intuition physique que j'utilise également au quotidien, mais dans ce cas je voulais être plus précis et rappeler ces notions de changement de variable des intégrales multiples qui sont utiles dans des cas où l'intuition ne suffit pas.
Là où il n'y a pas d'intuition, vous en inventez en observant le résultat. Là où il y en a, vous la réduisez à un "savoir établi". Votre notion de la logique m'échappe.
@@stephanelefevre Votre ton caractéristique des quincagénaires aigris témoigne bien de votre absence totale d'arguments viables. Un peu d'humilité, de sagesse, et de réflexion vous ferait le plus grand bien.
Si on pouvait résoudre cette intégrale par une simple primitive cela voudrait dire que sqr(pi) peut s'exprimer comme une expression algébrique ce qui est impossible pi (et sans doute aussi sqr(pi) étant un nombre transcendant. Ai-je tort ?
le truc amusant est de demander de prouver la relation entre I et racine de pi car, à l'intuition, la racine invite à trouver un truc au carré et le pi invite à passer en polaire... du coup, tout le travail est à moitié fait... en fait c'est souvent le problème... trouver le chemin et quand on ne sait pas où on va, c'est nettement plus exotique
Ça c'est ton intuition maintenant que tu connais le résultat, mais explique moi alors selon celle-ci pourquoi l'intégrale de sin(x)/x entre 0 et l'infini donne pi/2, également un changement de coordonnées polaires ? (réponse : intégrer sur un contour complexe, ou via une intégrale curviligne sur un champ (u,v) bien choisi, ou en permutant dérivée et intégrale en utilisant la technique de Fenymann) Dans ce cas précis, l'apparition du Pi vient effectivement de l'intégration en coordonnées polaires, mais surtout du fait que l'on se retrouve avec l'élément de surface r dr qui permette de calculer l'intégrale radiale comme étant simplement 1/2. Je ne pense pas qu'il y ait un grand intérêt à mentionner cette "intuition" vu qu'elle est propre à ce cas précis, même si ça aurait pu être 'amusant'
@@fabienroduit8911 vous avez raison, je vais aller me flageller sur la place publique "déplacé", qu'est ce qu'on n'entend pas de nos jours... j'pourrais être votre père, mais tout va bien revenons au sujet : l'intuition est largement sous-estimée et non valorisée, car voyez vous, il faut souffrir pour faire de belles mathématiques 1:15... qu'est-ce qui stimule cette mise au carré ? si vous n'avez pas "déjà" un a priori sur une piste, vous ne vous engagez pas forcément sur cette voie... il faut donc bien une intuition... j'ai même envie de dire que c'est ce qui manque à cette vidéo... pourquoi I^2... qu'est ce qui, sans avoir fait le calcul, justifie le chemin vers la solution qui passe par cette première étape
@@vector7669 en fait, je ne vois pas trop le rapport entre la gaussienne et sin(x)/x... je n'ai jamais dit "dès que vous voyez un pi, c'est qu'on doit passer en polaire"... et pour ce que ça vaut, non, mon intuition me disait d'aller chercher du côté de sin(z)/z... mais là, on est quand même un peu plus avancé dans le programme et les intégrations que la gaussienne
Je n'appelerai pas "intuition" une idée qui ne peut émerger que l'en connaissant le calcul complet. π peut venir de l'intégration polaire, d'arguments géométriques primitifs avec des longueurs d'arc, d'arguments trigonométriques, d'intégration via le théorème des résidus, de séries comme 1/k², etc. Il n'y a rien qui stimule cette mise au carré, si ce n'est l'intuition de penser à l'élément d'intégration en coordonnées polaires qui permette de calculer explicitement I². La vraie intuition derrière ce calcul est que dx dy = r dr dθ. I² pourrait valoir π et être obtenu bien différemment qu'avec une intégration polaire, il n'y a rien d'intuitif dans ce simple résultat. Dans mes vidéos, j'ai une approche logique. En utilisant des résultats supposés connus, je montre comment on peut en établir d'autres en raisonnant avec intuition et logique, comme si l'on ne connaissait pas le résultat, même si les idées sont parfois élaborées et relèvent du génie de grands mathématiciens. Dire que je fais la moitié du travail en utilisant cette approche plutôt qu'une approche partant bêtement du résultat me paraît très déplacé.
ça serait bien de penser à activer le son. j'ai le volume à fond j'entends rien. pouce bas. même le générateur de sous-titres automatiques ne comprend rien.
Le générateur de sous-titres automatique est loin d'être fiable, même sur des vidéos où le son est plus fort. En revanche, je n'avais pas remarqué tout de suite mais c'est vrai que le son est un peu faible par rapport à d'autres vidéos. Je tâcherai de l'augmenter dans mes prochaines vidéos. Merci pour cette remarque
@@vector7669 le générateur n'est effectivement pas fiable a la base mais la c'est 100x pire qu'en temps normal, c'est dire a quel point on comprend rien. Désolé si je suis désobligeant mais la il faut vraiment dire les choses telle qu'elles le sont
@@neky1860 S'il y a bien un truc que je déteste et que je méprise au plus haut point, ce sont les petites politesses hypocrites. Si j'ai quelque chose à dire, je le dis, tant pis si ça plait pas. et quand c'est de la merde, je le dis. T'as déjà vu un prof mettre 18 ou 19/20 à un élève pour un boulot baclé ? moi non. La partie audio de cette vidéo c'est du travail baclé. Donc pour quelle raison devrais-je y mettre une bonne note ? Juste pour faire plaisir un petit béni-oui-oui dans ton genre ? Et si tu veux faire une chaine youtube qui marche, ce genre de détails à son importance.
@@yannickcotten2854 au simple détail qu’il te doit rien, tu le payes pas que je sache et puis même si c’était le cas pouvoir faire une remarque dans le respect ça n’empêche pas de dire les choses. La politesse n’a jamais fait de mal à qui que ce soit…
