J'ai préféré aussi la première méthode. Comme les nombres ne sont jamais pris au hasard, la technique d'addition des coefficients pour obtenir 0 est très puissante et utile. Une autre technique rapide quand j'étais au lycée, c'était d'essayer de remplacer les x par 0, puis par 1, puis par -1, puis 2, puis -2. Et on trouvait très vite un ou deux qui matchaient, et du coup, on pouvait factoriser le polynôme par (x-a) où a est le nombre qui matchait. Exemple ici : On remplace x par 0 et ça donne 4 - 0 = 8, ça matche pas. ensuite si on remplace x par 1 et ça donne 9-1 = 8, ça matche. ensuite si on remplace par -1 ça donne 1 - 1 = 8 ça matche pas. ensuite si on remplace par 2 ça donne 16 - 8 = 8 ça matche. Enfin on remplace par -2 ça donne 0 + 8 = 8 ça matche.
Avant de faire des essais au hasard, je regarde la tête de la fonction. P.ex. degré impair implique qu'il y a au moins une racine réelle. Si les coef sont tous positifs, alors les racines réelles sont négatives. On regarde aussi les limites et on voit dans quel intervalle on peut trouver une solution.
la première méthode semble évidente sans doute ou plus commune... en revanche, la seconde est intéressante car elle demande d'autres facultés et l'introduction d'une autre identité remarquable souvent moins connue je pense. faire l'effort d'exposer les deux méthodes est à mon sens un bon choix d'autant plus que j'ai remarqué depuis que je suis occasionnellement la chaîne un certain attrait, apprécié, pour les calculs que je qualifierais d'inverses pour faire apparaître certaines choses. cela a également le mérite qu'il pourrait exister une autre approche pour résoudre un problème avec d'autres nombres. ça donne toujours d'autres armes. accompagner cela de la pédagogie dont vous faites preuve permet à un grand nombre d'aborder aisément je pense la vidéo. merci.
Autre méthode (un peu inutile mais fun) tu peux faire le changement de variable X=x+2 et tu as les constantes qui se simplifient, donc tu as un polynôme de degré 3 sans constantes, donc X=0 comme racine évidente (qui donnera x=-2) et après on se retrouve avec un second degré
Bonjour, Comme indiqué par certains, il aurait été pertinent de présenter une 3ème solution, avec la recherche de racine évidente : 0, 1, -1, 2, -2. Soit on trouve les trois et c'est fini, soit on trouve 1 et 2 et une factorisation rapide permet de répondre. C'est rapide à tester, fait travailler le calcul mental, et permet d'éviter de se lancer tête baissée dans les calculs.
Comme toi j'ai préféré la première, plus accessible. Pour reprendre l'idée du chemin c'est comme s'il y avait 2 sentiers de randonnée pour la même destination, l'une est jaune et l'autre est blanche et rouge.
On sent que les nombres ne sont vraiment pas choisis au hasard! Il y a des cubes donc forcément au moins une solution réelle, peut-être plus. On remarque 8 = 2^3 Y - x^3 = 2^3 (avec Y = (x+2)^2 ) On lit donc ici deux cubes... Attention on ne voit pas directement une différence de deux cubes : ils sont du "mauvais coté", il y a un problème de signe. On voudrait plutôt : A + B^3 = C^3 Mais attention encore : le cube est impair contrairement au carré! Donc on peut retourner son signe sans problème. (Et sans sortir des réels.) Il suffit de voir que (-X)^3 = - (X^3) Donc on trouve bien une différence de deux cubes : Y - (x^3 - (-2)^3) = 0 Différence qu'on doit savoir factoriser (par cœur si vous voulez être un pro de la factorisation) : (x^3 - (-2)^3) = (x-(-2)) * (x^2 + -2*x + (-2)^2) = (x+2) * (x^2 - 2*x + 4) En remplaçant dans l'équation initiale : (x+2)^2 - (x+2) * (x^2 - 2*x + 4) = 0 La factorisation est évidente : (x+2) * ((x+2) - (x^2 - 2*x + 4)) = 0 Donc les racines sont { -2 } U (racines de ((x+2) - (x^2 - 2*x + 4))) La suite n'est pas trop difficile.
Comme toujours, tu me fais rêver, je te remercie. Je trouve que c'est résolutions ont une puissance... Wahhh. J'ai un petit faible pour la première, je n'aurai pas réussi la deuxième solution, je ne connaissais pas cet identité remarquable.
Petit truc pour les identités remarquables pour soulager la mémoire : apprenez les pour a et b positifs et comme elles sont valables pour tout a et b, remplacez b par -b pour retrouver les autres. exemple : a³+b³= (a+b)(a-ab+b²) valable aussi si je replace b par -b ça donne : a³+ (-b)³=(a+ (-b))(a-a*(-b)+(-b)²) et on retrouve a³-b³=(a-b)(a+ab+b²)
@@hectthorno584 merci pour la correction, tant qu'à faire je signale que ça fonctionne aussi pour les Identités trigos style sin (a+b) ; cos(a+b) ; tg(a+b). etc..
Si on est un peu à l'aise avec l'algèbre linéaire (de base) et les matrices (petites), on peut aussi apprendre à définir les nombres complexes par des matrices 2x2, ce qui permet de voir des matrices de rotation. Et on sait multiplier les matrices... De là, on peut (péniblement) retrouver toutes ces formules avec cos et sin. @@michelbernard9092
"pour soulager la mémoire : apprenez les pour a et b positifs" Oui en général mais... Je ne suis pas d'accord du tout. La possibilité d'une factorisation par un monôme est équivalente à l'existence d'une racine, racine qu'on isole du reste. Ici on est dans les réels donc il n'y a pas toujours de racine et donc pas toujours de factorisation possible (sauf évidemment si le degré est impair). On voit immédiatement que x^3 - a^3 doit avoir une factorisation parce que x=a donne a^3 - a^3 = 0, donc on pourra factoriser par (x-a). Ce n'est pas directement le cas pour x^3 + a^3 même s'il n'est pas trop difficile d'y voir une différence deux cubes : x^3 + a^3 = x^3 - (- (a^3)) or -(a^3) = (-a)^3 donc : x^3 + a^3 = x^3 - (-a)^3 Donc -a est racine et on sait a priori (= même avant de connaître la formule) qu'on peut factoriser par (x+a). Mais comme on ne peut pas faire cette transformation là pour les degrés pairs (ni aucune transformation systématique qui reste dans les réels), je préfère les formules de factorisation avec (x-a). Bien sûr, rien n'interdit de travailler dans les complexes, de trouver les n racines (pas forcément distinctes) d'un polynôme de degré n, puis de revenir à la maison en vérifiant quelles racines sont réelles et en mettant les autres (celles avec une partie imaginaire non nulle) en produit, ce qui donnera donc : P = (x-r1)(x-r2)... (x-rn)Q Q=(x-c1)...(x-cm) avec les r1... rn des racines réelles et c1...cm les autres racines, et Q un polynôme de degré pair.
@@cainabel2553 J'ai juste écrit que si ∀(a,b)∈R² f(a;b)=g(a;b) alors ∀(a,b)∈R f(-a ; b)=g(-a ;b) ça n'a rien à voir avec les polynômes et c'est vrai pour toutes les fonctions définies sur le domaine considéré. exemples Si f(a;b)= (a+b)² et g(a;b)=a²+2ab+b² dire ∀(a;b)∈R² f(a;b)=g(a;b) ∀(a,b)∈R² f(-a;b)=g(-a;b) donc que (-a+b)²= (-a)²-2ab+b² de même avec les fonctions trigos f(a;b)=cos(a+b) g(a;b)=cosa*cosb - sina*sinb dire que f(a;b)=g(a;b) soit que cos(a+b)= cosa*cosb - sina*sinb cos(-a+b)=cos(-a)cosb - sin(-a)*sin(b) = cosa*cosb+sina*sinb Pour revenir strictement à vos polynômes, vous pourriez peut-être revoir le théorème fondamental de l'algèbre : si ∀x∈R P(x)=Q(x) alors S(x)= P(x)-Q(x)=0 a une infinité non dénombrable de racines, il me semble que vous confondez factorisation ; équations, degrés et identités remarquables. Ainsi si P(x;y)= (x+y)² et Q(x;y)= x²+2xy+y² ; ∀(x;y)∈R² P(x;y)-Q(x;y)= S(x;y)=0 donc tous les couples (x;y) sont racines S(x;y)
(x + 2)² = x² + 4x + 4 . (-1)x³ + x² + 4x + 4 - 8 = (-1)x³ + 1x² + 4x + (-4) = 0 . (-1) + 1 + 4 + (-4) = 0 . Donc 1 est solution évidente de cette équation du troisième degré. (-1)x³ + 1x² + 4x + (-4) = (x - 1)((-1)x² + Bx + (-4)/(-1) = (x - 1)((-1)x² + Bx + 4) . 4 + (-1)B = 4 . (-1)B = 4 - 4 = 0 . B = 0/(-1) = 0 . Donc (-1)x³ + 1x² + 4x + (-4) = (x - 1)((-1)x² + 0x + 4) . Le discriminant est 0² - 4 * (-1) * 4 = 0 -(-16) = 16 . La racine carrée du discriminant est donc quatre. Donc dans cette équation du second degré, x est égal soit à ((-0) - 4) / (2 * (-1)) = (0 - 4)/(-2) = 2 soit à (0 + 4)/(-2) = (-2) . Ces deux solutions s'ajoutent à notre solution évidente du départ. L'équation (x + 2)² - x³ = 8 a donc trois solutions possibles : soit x est égal à un, soit x est égal à deux, soit x est égal à moins deux.
Moi, j'aurais multiplié par -1 et réorganisé l'équation en associant le x^3 et le x et le x^2 avec le nombre, ce qui permet de factoriser par x-1 et par x^2-4 qui est une identité remarquable (x-2)(x+2) d'où les solutions 1, 2 et -2
Pour ma part le fait que 8 = 2^3 m'a permis de déterminer -2 en solution évidente instantanément puisque dans la parenthèse ça donnait -2+2 =0. Puis je me suis dis : 8+8=16, et si je prends x=2 alors j'ai (2+2)² = 16, soit 16-8=8, j'ai donc trouvé ma seconde solution évidente. Enfin, j'ai vu que 9-1 = 8, donc j'ai testé x=1 pour avoir (1+2)² = 9, soit 9-1 = 8, ce qui m'a donné une 3ème solution évidente. J'ai conclu que pour une équation de degré 3, avec 3 solutions je devais être bon :)
Super vidéo, plein de nouvelles méthodes c'est génial merci !!! En revanche je bloque sur un problème si tu pourrais le faire 😅 ça serai sympa... : Le potager du grand père. Le potager du grand père est un triangle ABC dont l'angle au sommet B est légèrement obtus et dont le coté BC mesure 13 m. Le potager est partagé en 4 partie par 2 allées BF et CD qui mesurent respectivement 10 et 15 m et se croisent en E. Les longueurs AD AF BD BE CE et CF sont toutes des nombres entiers Quelle est l'aire du potager en mètre carré ?
Une équation avec que des 2^n juste faut tester ±1 et ±2... Dans 80% des cas ça marche et ça prend 2 secondes... Après à défaut, juste, le rapport du dernier coeff sur le premier coeff et de leurs diviseurs respectifs (opposés inclus) est la liste des solutions rationnelles évidentes possibles, donc ça va limite plus vite ici de dresser cette liste et de tout tester : j'ai -4 en dernier coeff et -1 en premier donc ma liste est {±1;±2;±4}. En 3 secondes de tête c'est bâclé dans la mesure où il ne peut y avoir que 3 solutuons vu le degré du polynôme.
Pour la solution 1, je trouve ça plus facile de voir les solutions évidente sur la forme factorisée présentée dans l'ennoncer (au passage on voit rapidement les 3)
J'ai une troisième méthode: j'ai vu qu'il y avait un cube et un 8 donc j'essaie 2 et -2 comme solutions et ça marche. Comme c'est une équation du 3e degré il y a peut-être une troisième solution à trouver. Alors j'ai tout mis à gauche pour avoir qc=0 et développé. On factorise par x-2 et on factorise le polynôme du second degré obtenu par x+2, ce qui donne la troisième solution.
Comme c'est un polynôme de degré 3, il y a forcément 3 "racines" (parfois réelles ou sinon à chercher dans les complexes) et si deux sont réelles alors la 3e aussi est réelle MAIS il peut s'agir de "multiples". L'équation n'a pas forcément un ensemble de solutions de cardinal 3. Attention, le concept de solution multiple n'a aucun sens en règle générale. C'est applicable uniquement aux "racines" dans des domaines limités : polynôme d'une variable qu'on étudie au collège, mais aussi polynômes de plusieurs variables (et peut-être d'autres plus avancés...). Il y a une théorie derrière qui justifie de dire qu'une solution est en quelque sorte "deux fois" solution. Mais on ne peut pas dire "combien de fois" 0 est solution de : tg x = 0. (Du moins je ne connais pas de théorie qui permette de définir cela.)
methode 1 est plus intuitive, surtout si dans la methode 2 tu utilises aussi la racine evidente. Dans ces cas là, avant de prendre le temps de developper on peut meme rechercher des racines evidentes depuis l'equation de base. Ce qui en fait nous donne une 3e methode: on a du degre 3 donc on sait qu'on cherche trois racines. -2 est la plus evidente dans la premiere equation puisque ca donne 0 - (-2)^3 = 2^3. 2 est assez evidente aussi: 4^2 = 8+8. 1 est un peu moins evidente mais bon 9-1=8
1:30 il y avait possibilité de faire une factorisation partielle : (-x^3+x^2)+(4x-4)=0, je laisse le soin de deviner la suite, mais on retombe (évidement ^^) sur tes pas
@@gwathanaur le terme "évidente" a une définition en mathématiques qui est à l'opposée de "bah... Ça se voit non ?", donc si, dire qu'il y a des solutions évidentes mathématiquement c'est pertinent. Juste vous ne comprenez pas ce terme.
Problème de maths sympathique de dénombrement. Dans une compétition comme la CAN (actualité oblige), dans un groupe de 4 équipes qui s’affrontent chacune une fois (donc 6 matchs en tout), où la victoire vaut 3 points, le match nul 1 point et la défaite 0 point. Combien de classement différent existe-t-il ?
RÉSOUDRE (x + 2)² - x³ = 7 maintenant... là ça serait une belle vidéo... un autre sujet intéressant serait de donner une identité remarquable de a⁵ - b⁵... si c'est trop simple, la même avec une puissance de 13...
J'ai directement vu que 1 est une solution mais ensuite je fais une division l'équation divisé par x-1 ... Pourrais-tu en faire une vidéo ? Diviser un équation par une autre , via un exemple simple puis beaucoup plus compliqué ... pour ceux qui ne connaissent pas
@mathieumillet3674 On développe simplement le 2ème membre. (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2.b+a.b^2-b.a^2-a.b^2-b^3=a^3-b^3 (les 4 termes du milieu s’annulant 2 à 2).
mdr, j'ai vu -2 comme solution évidente de l'équation de base. J'ai juste eu le réflexe de voir que 8 c'est 2³, il y a un x³ de l'autre côté et avec -2 on vire la parenthèse. ça faisait beaucoup de 2 donc j'ai vérifié vite fait avec -2 et que j'ai vu que ça marchait. Je m'attendais à voir cette solution dans une des 2 méthodes...
(x+2)² - x.x² = 8 x² +4x - x.x² = 4 x² - x.x² = 4 - 4x x²(1-x) = 4(1-x) si (1-x)=0 l'égalité est vérifiée, donc x=1 est solution. sinon on peut diviser chaque membre par (1-x) on tombe sur x² = 4 et je vous laisse conclure. Bisou
slt merci por tes méthode et je te donne un défi de résoudre ce calcul comment calculer 2024 sans utiliser 2 0 et 4 mais tu dois pas utiliser trop de chiffre mon meilleur calcul 3135-1111 2024
Pour la méthode 2, déjà au début j'ai fait la grosse boulette d'écrire (x+2)²=8-x³, donc ça n'a rien donné. J'ai alors fait la méthode 1 (mais à la fin résolvant directement -x²+4=0 x²=4 x=2 ou -2). Quand je me suis rendu compte de mon erreur, j'ai pu refaire aussi la méthode 2, sauf que j'ai fait l'erreur de simplifier par (x+2) et donc j'ai raté la solution x=-2
Bonjour, on remarque que (x+3) est un facteur commun donc : (x+3)[(2x+7)-(x-2)] = 0 (x+3)(2x+7-x+2) = 0 (x+3)(x+9) = 0 Ceci est un produit de facteurs nuls donc : x+3 = 0 ou x+9 = 0 x = (-3) ou x = (-9) S={-9; -3}
Pffff !! Comment faire pour se souvenir de toutes ces règles, ces identités remarquables, ... impossible. Même avec un aide mémoire, il faut se souvenir qu'il existe une règle ou une ID qui permet de .. 🤔
ça découle directement de l'équation quand on met x à 1 (mentalement ou en l'écrivant). a x^n + b x^m + c x² + d x + e, vaut, quand x = 1 : a + b + c + d + e. Si a + b + c + d + e = 0, x = 1 est une racine, sinon c'est pas. 🙂
En fait dès le départ, sans avoir besoin de développer on voit que 1 est solution évidente. De toute façon c'est le premier réflexe avec les équations du 3ème degré.
