Дотянуться до континуума | Ботай со мной  

Это новая вебинарка. Там свет чуть лучше )

Алеф 2 Да ты совсем мазохист))

@@Nikita_Shustrov А есть алеф 3, а есть алеф 4, а есть алеф алеф нуль. А есть алеф алеф алеф... А есть булеан этих множеств. А есть недостижимый кардинал. . У vsauce есть хорошее видео на эту тему.

@@that-guy210 скинь ссылку пожалуйста

@@user-sd6pk6mw1t ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-vlIA0ujw8lI.html&ab_channel=%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%D0%9C%D0%B0%D1%84%D1%84%D0%B8%D0%BD

@@user-sd6pk6mw1t ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-vlIA0ujw8lI.html

На одном стуле пики точены. На другом - ... На какой сядешь?

Все уже есть: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-6wUcOhBCFlw.html

Нет. Множество таких алгоритмов тоже счетное. Потому что счетным является множество конечных алгоритмов составления этих бесконечных алгоритмов. Если пойти дальше и заметить, что и алгоритм составления алгоритма может быть сделан бесконечным, за счет описания того, как его делать в виде отдельного алгоритма, то и это не изменит картины - их тоже счетное. И так далее на любую глубину построения алгоритма для построения алгоритма для построения алгоритма... На самом деле, нетрудно заметить, что и эти рассуждения неважны. Потому что, если взять конечный текст того алгоритма, который упомянут в "...В итоге исходный алгоритм построения такого алгоритма будет по-прежнему конечным..." и к этому конечному тексту добавить строку "применив этот алгоритм, построим тот алгоритм, воспользовавшись которым, получим число", то получим текст (конечный!), описывающий непосредственно алгоритм получения числа. Т.е. мы для любого бесконечного алгоритма (из тех, которые можно описать, конечно) нашли его конечный аналог. А таких не более, чем счетное кол-во.

@@alexandrvoevodsky4247 но тут есть важный нюанс. Может, мой начальный пример не совсем корректный. Если говорить о бесконечных алгоритмах, которые строятся другими конечными алгоритмами, то их будет действительно счётное количество. Но мысль изначально была про вообще все бесконечные алгоритмы. Это по-прежнему несчётное множество. А те, что можно построить другими конечными алгоритмами - лишь подмножество. P. S. Хотя что-то я уже сам запутался с примером алгоритма, строящего другие алгоритмы) Ведь так то можно сделать простой, короткий и конечный алгоритм построения всех возможных иррациональных чисел, хоть он никогда и не завершится, а равно как будет требовать ещё и бесконечной памяти) Но так или иначе, именно алгоритмически (или функционально) он покроет все числа, но от этого множество этих чисел всё равно не станет счётным.

@@amegatron07 Идея этого ролика в том, что множество всех сущностей, каждую из которых человечество может описать, и неважно о каких именно сущностях идет речь (числа, алгоритмы для построения чего угодно [конечные или бесконечные], множества[само множество может и не быть счетным, но в этом перечне оно выступает как "одна сущность"]) - вот всё это множество описываемых сущностей счётно. Потому что описанием одной такой сущности (раз она описываемая) является текст (возможно, этот текст включает в себя все тома Фихтенгольца, "Теорию функции вещественной переменной" Натансона и все тома Бурбаки, Ван дер Вардена и т.д. только для описания каких-нибудь элементов, из которых эта сущность и будет сконструирована). А всего разных конечных текстов - счётное количество.

@@alexandrvoevodsky4247 ну тогда мы немного о разных вещах говорим. Описать какое-то несчётное множество конечным текстом - это одно. Но само множество от этого счётным не станет. Я об этом. И в данном случае речь о том, что счётным мы можем считать только множество конечных алгоритмов. А бесконечных - нет, даже если мы их все можем как-то описать.

@@amegatron07 Но мы не можем их описать! Точнее, мы можем описать множество этих алгоритмов, но не их самих. Некоторые из них - да, можем. Но не более, чем счетное подмножество.

ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-VDxWUxgaMUM.html

у логарифма тоже есть алгоритм, поэтому относится к последней категории

Есть один «простой» способ. Сначала сопоставим единичный квадрат с вершинами (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) с отрезком [0;1]. Для каждого числа на отрезке разделим его на четные и нечетные цифры и получим точку в квадрате. А для точек квадрата, наоборот, соединим. Например: 0,39562048101… -> (0,352411…; 0,96080…) (0,00291…; 0,10403…) -> 0,0100249013… То есть в общем виде: 0,abcdef… -> (0,ace…; 0,bdf…) (0,stuv…; 0,wxyz…) -> 0,swtxuyvz… А для плоскости просто разделим всё на квадраты 1x1 и пронумеруем их как-нибудь. Например, возьмём у каждого квадрата левую нижнюю точку. (0,0) -> 0 (1,0) -> 1 (1,1) -> -1 (0,1) -> 2 (-1, 1) -> -2 (-1, 0) -> 3 (-1,-1) -> -3 (0, -1) -> 4 (1, -1) -> -4 (2, -1) -> 5 И т.д. по «спирали» перечисляем квадраты и нумеруем 0,1,-1,2,-2,3,-3… Тогда точке (1,543…; -0,987…) соответствует квадрат (1,-1) то есть -4 и точка (0,543…; 0,012…) от левого нижнего угла, то есть 0,504132… В сумме получается число -3,495867… В общем виде для точки (n,abc…; m,def) мы берём номер квадрата с углом (n, m) или n-1 и m-1 соответственно, если число отрицательное и округляется вниз к меньшему (как -1,5 вниз округляется к -2). Пускай этот номер N. В этом квадрате вычисляем значение для точки (0,abc…; 0,def…) ну или 1-0,abc и 1-0,def если числа были отрицательные (так как сдвиг от угла положительный). Пускай полученное значение 0,xyz… Тогда мы исходной точке (n,abc…; m,def…) сопоставим число N+0,xyz… P.S. Там есть небольшие проблемы с числами заканчивающимся на 9999… но можно просто их запретить (то есть записывать только в виде 0000…) Например, вместо 4,3279999… будем писать 4,3280000…

Есть ещё вариант со Space-filling curves en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve?wprov=sfti1 То есть кривыми заполняющими плоскость. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE?wprov=sfti1

@@fullfungo есть интересный вывод из этого --- размерность не имеет значения, -- отрезок можно натянуть на квадрат без остатка. Ну и любой континуум гомеоморфен интервалу.

@@user-iCuaebtAi926 не совсем. Гомеоморфизм обычно означает «преобразование, сохраняющее некоторое свойство или связь между элементами» Преобразование квадрата в отрезок сохраняет только размер множества, но не соотношение между точками. То есть, например, длины, углы и окрестности не сохраняются при таком преобразовании.

@@fullfungo ну в общем можно найти соответствие и доказать равномощность

Гораздо более сложная и содержательная чем та которую мы когда либо конкретно изучем

1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 6 и т.д. (n + 1)! = (n + 1) * n! Все )

Борис Трушин ахах, а вообще факториал-это количество комбинаций с числом? (Сколькими способами можно разложить число)

​@@user-ko8ne8lr7p, количество различных перестановок n элементов -- это n!

@@user-ko8ne8lr7p n!=Г(n+1) :D

0! = 1

@Milamber HD на самом деле получилось хорошее обоснование нехорошему факту неточности, нехарактерному математике в целом. но в связи с этим возникает вопрос, с какого момента дробь 1/n в цифровой записи становится периодической ? сколько нужно повторений ? т.е. 0.333333333 - это уже период ? а если 0.333 - это как ?....

@Milamber HD а тогда ещё вопрос возникает -- 2/3 это 0.7 ??....

@@nobodyisperfect4937 нет, между 0,7 и 0,(6) можно вставить бесконечное количество действительных чисел. А вот между 0,(9) и 1 вставить ничего больше нельзя, значит, 0,(9) = 1

Бред

Почему из того, что множество содержит бесконечно много непересекающихся бесконечных множеств, следует, что оно не является счётным?

Мы сами выбираем как "пересчитать" множество. Посмотрите ещё это видео: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-u_B36oDPtb4.html

@@trushinbv кроме 1/2 и 2/1 или 1/3 и 3/1, есть: 1/1, 2/3, 3/2 ... везде всего бесконечно, но в динамике чего-то больше, а чего-то меньше, часто зависит от того , что идет первым и на какие части делить

@@trushinbv бесконечная десятичная дробь из-за пятерки в десятке. Не делится эта хрень пополам, сложно вот так описывать мир, мне проще половинками и двойками, формулой или числом и остатком. Единица и ее пара опишет все. В двоичной системе, понятно, что двойка на простые числа не будет делиться нацело, но записывать удобнее. А уж если делить на простое число, то и понимать нужно, что делаешь сравнение в новой системе измерения, поэтому вариант записи дробей я для себя избрал основным, так как в программировании есть проблема округление. Но такие проблемы появляются лишь тогда, когда за единицу сравнения взят не тот параметр, а должен быть взять наименьший, который и станет единицей

@@trushinbv у меня возникала проблема разложения на множители и сравнения, обобщения числе. Любое число можно описать набором множителей с требуемой точностью, но в десятичной системе на 5 уже не поделишь, так как эта пятерка есть в каждом разряде, и зависимость множителей и степеней она нарушает. Поэтому про бесконечные дроби нужно просто забыть, в школах хранить данные как-то иначе. даже в виде каких-то небольших зависимостей. формул, не учат, а значит, теряется чистота

@@trushinbv ну а дальше сравнение количества действительных и натуральных описываешь. Ну надо сказать. что это на конечном отрезке. так как в бесконечности все к ней и будет стремиться. И понятно же, что объекты может различаться на бесконечное значение, даже дробь можно прихерачить или изменить на что-то близкое к бесконечности. Но самое главное, что десятичная дробь осована на деление пятерки, мы добавляем к числу 5*2, а потом его делим. А систем счисления может быть бесконечно

14:25

Речь же про способ задания конкретного числа

вот как раз телом мы эту четвертую координату очень хорошо чувствуем. И с каждым годом все лучше:)

Все двоичные числа - это просто натуральные числа. Как их может быть несчетное множество?

@@trushinbv Это да, я согласна, но я блин запуталась( п.с. Вроде даже сама распуталась - если каждая двоичная последовательность конечна, то объединение их счетно. Если бесконечна - то несчетно. А текст конечен. в общем-то поняла, но мб снова не так

Это кусочек стрима. Я делал первый раз и поэтому не все продумал. "Внизу" стоял ноутбук с чатом, куда я смотрел, чтобы видеть ответы слушателей.

Вы от какого аргумента их хотите посчитать? ) Вам сначала нужно точно задать этот аргумент, а это уже лишь счетное количество чисел.

Речь не о том, что тех чисел о которых вы говорите счетное количество. Речь о том, что тех которые мы в принципе можем изучать счетное число.

@@trushinbv человек за свою жизнь может столкнуться только с конечным набором чисел, например 1 число за 1 секунду, думаю больше он сделать не в состоянии. Это имеется в ввиду.

@@tvb1951, имеется в виду, что "список" всех числе, с которыми в принципе может столкнуться человечество не более, чем счетно.

@@trushinbv , это очень красивое рассуждение. Правда, счётность достигается только в случае бесконечности жизни во вселенной, но мы же знаем про тепловую смерть. А стало быть, даже конечное количество чисел будет определено людьми (:

Только это не бинация будет )

@@trushinbv биекция (не то чтобы я хорошо знаю значение этого слова, но всё же это соответствие)

Возьмите каждое четное натуральное, разделите на 2, получите все возможные натуральные числа )

@@trushinbv Я получу бесконечное множество натуральных чисел. А это отнюдь не то же самое, что множество всех натуральных чисел. То, что получившееся бесконечное множество равномощно множеству ВСЕХ натуральных чисел надо доказать. Но никто этого не делает. Вы, как и все те математики, с которыми мне приходилось общаться, не понимаете этой разницы. Она очевидна, если не пренебрегать элементарнейшим логическим рассуждением, с которого начинаются едва ли не все учебники по основам логики. З.Ы. Мне даже интересно, способны ли вы самостоятельно додуматься, что это за рассуждение или мне придется растолковывать его и вам, как и всем остальным. :-)

@@Avgur_Smile Почему? Мы получим ВСЕ натуральные числа. Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n. Противоречие )

@@trushinbv >> Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n Это доказывает лишь то, что множество, полученное делением 2n из множества четных натуральных чисел пополам бесконечно. Но никак не доказывает, что полученное бесконечное множество натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел. Мне очевидно, что вы не понимаете того, о чем я вам толкую. Можно конечно привести логическое рассуждение о смертности Сократа, которое почему-то никто из математиков не может применить к рассуждениям о бесконечных множествах, но уже лениво. Потому попрошу разъяснить мне следующее. Полагаю, вы слышали об индийском математике Рамануджане, который "доказал", что сумма натуральных чисел равна -1/12. Не буду сейчас разбирать это доказательство, в котором ошибка на ошибке. Давайте попробуем поискать эту сумму иным способом Докажем, что сумма всех натуральных чисел равна -1/8. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ... = = 1 + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7) + (8 + 9 + 10) + ... = = 1 + 9 + 18 + 27 + ... = = 1 + 9 * 1 + 9 * 2 + 9 * 3 + ... = = 1 + 9 * (1 + 2 + 3 + ...) = = 1 + 9 * S' S и S' являются суммами элементов бесконечных последовательностей натуральных чисел. Следуя вашей точке зрения, эти последовательности не просто равномощны, но даже равны. "Потому что предположим, что какого-то числа n в S' не будет, но в множестве S точно была тройка чисел, которая в сумме дает 9 * n. Противоречие" (надеюсь здесь вы узнали чуть-чуть переделанное ваше высказывание) Это значит, что S = S'. Тогда S = -1/8. Согласны? Если согласны, то как быть с тем, что сумма всех натуральных чисел равна -1/15? S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + ... = = 1 + (2 + 3 + 4 + 5) + (6 + 7 + 8 + 9) + (10 + 11 + 12 + 13) + (14 + 15 + 16 + 17) + ... = = 1 + 14 + 30 + 46 + 62 + ... = = 1 + (1 * 14) + (2 * 14 + 2) + (3 * 14 + 4) + (4 * 14 + 6) + ... = = 1 + 14 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...) + 2 + 4 + 6 + ... = = 1 + 14 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...) + 2 * (1 + 2 + 3 + ...) = = 1 + 14 * S' + 2 * S" Снова будем следовать вашей логике. Из нее вытекает, что S = S' = S". Тогда S = - 1/15. Но это еще не все. Покажем, что сумма всех натуральных чисел равна 1. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + ... = = 1 + (2 + 3) + (4 + 5) + (6 + 7) + (8 + 9) + (10 + 11) + (12 + 13) + (14 + 15) + (16 + 17) + ... = = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33 + ... = = 1 + (6 - 1) + 9 + (12 + 1) + (15 + 2) + (18 + 3) + (21 + 4) + (24 + 5) + (27 + 6) + ... = = 1 + (2 * 3 - 1) + 3 * 3 + (4 * 3 + 1) + (5 * 3 + 2) + (6 * 3 + 3) + (7 * 3 + 4) + (8 * 3 + 5) + (9 * 3 + 6) + ... = = 2 * 3 + 3 * 3 + 4 * 3 + 5 * 3 + 6 * 3 + 7 * 3 + 8 * 3 + 9 * 3 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) = = 3 * (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) = = 3 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) - 3 = = 3 * S' + S" - 3 Снова смотрим на ситуацию с вашей точки. Получаем S = S' = S", откуда S = 1 Ну и в качестве вишенки на торте "докажем", что сумма всех натуральных чисел равна 0. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + ... = = (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) + (9 + 10) + (11 + 12) + (13 + 14) + (15 + 16) + ... = = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + ... = = 3 + (6 + 1) + (9 + 2) + (12 + 3) + (15 + 4) + (18 + 5) + (21 + 6) + (24 + 7) + ... = = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...) = = 3 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...) = = 3 * S' + S" Согласно вашей точке зрения S = S' = S", откуда S = 0 Полагаю, вы догадываетесь, что можно исполнить еще сколько угодно подобных танцев с бубном и получить самые разные величины для суммы всех натуральных чисел. Как, по-вашему, можно объяснить подобный разнобой в результатах?

">> Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n Это доказывает лишь то, что множество, полученное делением 2n из множества четных натуральных чисел пополам бесконечно. Но никак не доказывает, что полученное бесконечное множество натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел." В смысле? Мы доказали, что в этом множестве будут все натуральные числа. А сумма натурального ряда, очевидно, расходится. И вы даже это доказали. Предположив, что есть конечный предел, и получив два разных значения. Значит, конечного предела нет