Все больше ловлю себя на том, что все больше мне нравится именно восполнение забытых фундаментальных знаний. То есть, задачу я решил за секунду, а почему это именно так, очень хорошее разъяснение. Так, глядишь, скоро ДЗ станут самой интересной частью... Спасибо, Валерий Владимирович!!!
Соединим середины сторон в квадрат MNPK. Цветные треугольники вокруг его равны. Внутри его, сумма площадей зелёного и розового треугольников, как и желтого с синим, это 1/2×S(MNPK), так как у них одинаковое основание и сумма двух высот, равные стороне квадрата MNPK. Сложив цветные треугольники получим x+2=3+4, Ответ: x=5
1. Интуитивно. Слева направо -1, сверху вниз +2. Ответ :5 2. Соединим т О с вершинами и опустим перпендикуляры на стороны. Основания у треугольников равны, а площади цветных зависят от (прямопрорционально) суммы двух перпендикуляров. Обозначим их близстоящими буквами. Составим равенства. M+N=3@ P+N=2@ P+K=4@. Откуда М+К=М+N+2@=5@ Ответ:5
Ваше доказательство как раз для общего случая - любого выпуклого четырехугольника. Я же рассмотрел квадрат MNPK, для него суммы площадей накрест лежащих треугольников равны по понятным причинам - потому что равны суммы высот этих треугольников, и основания. А значит в таком же отношении находятся и заданные четырёхугольники, т.к. к ним приплюсована постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата. Отсюда легко найти 5.
Насчет "накрест лежащих треугольников" и "постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата" верно только в случае когда точка О внутри квадрата MNPK, а это не при любых заданных площадях и для конкретного случая еще нужно доказать.
Есть и алгебраическое решение "в лоб": если обозначить координаты точки O относительно центра квадрата Q как (x, y), половину стороны квадрата как a, то получается система из 3 уравнений (через площади прямоугольников BCPM, CDKN, треугольников MOP, NOK, квадрата ABCD, маленького квадрата AMQK и треугольников MOQ, QOK): (1) 2a^2 - ax = 6, (2) 2a^2 - ay = 5, (3) a^2 + a(x + y)/2 + 2 + 3 + 4 = (2a)^2 Складывая (1) и (2), выражаем a(x+y) через a^2; подставляя в уравнение (3) находим a^2 = 7/2. После чего и находится искомая площадь a^2 + a(x+y)/2
Да, хорошая задача. Давала её год назад ОГЭ-шникам. Надо снова дать. А малыши 4 кл. пока не знают медианы и площади треугольников через высоту. Поэтому им даю немножко другие. Можете здесь выложить для развлечения взрослых дяденек, у вас красиво получается: Прямоугольник разделите на 4 прямоугольника двумя прямыми, параллельными сторонам как угодно. 1. Найти площадь одной части, если известны площади трёх других. 2. Найти периметр одной части, если известны периметры трёх других.
Разбил каждый четырехугольник на два треугольника по диагонали, проходящей через точку.Легко доказывается, что сумма площадей накрест лежащих четырехугольников одинакова.
Без доказательства , как аксиома , сумма площадей четырех угольников по диагонали равна. А теперь мой вариант. Примем половину стороны квадратa = x , MN =x* на корень из 2 . В тр.МNO проведем высоту ОL ( перпендикуляр на MN , S тр.MNO=OL*MN :2 . S тр.MBN= X^ :2 . S (MBNO)= сумме треугольников , откуда OL=6-x^/x*корень из 2 . В тр . КОР проведем высоту на КР в т. F . OF= LF(MN)-OL=3x^-6 деленное на2 . S тр. КОР=3x^-6 деленное на 2 . S ( KOPD) = сумме тр. и равно 4 , откуда x = корень из14:2 , сторона квадрата = 2x= корень из 14 , площадь квадрата =14 , искомая площадь = 14-9=5 .
m, n, p, k - высоты, опущенные из общей точки O к сторонам квадрата. Цветные четырёхугольники делим на 2 треугольника с одинаковым основанием в половину стороны квадрата. Площадь треугольника S=ah/2 . S(зел.)=am/2+an/2=(m+n)*(a/2), с остальными аналогично. Константу a/2 в дальнейших рассуждениях можно игнорировать: n+m=3 n+p=2 k+p=4 m+k=(k+p)+(m+n)-(n+p)=4+3-2=5
Достаточно просто. ΔАМК=ΔBMN=ΔCNP=ΔDKP. Их суммарная площадь - половина общей площади квадрата ABCD. Каждого в отдельности, соответственно - 1/8. Остаётся другая половина - вписанный ромб MNPK со стороной АВ/√2, состоящий из четырёх треугольников, сходящихся в т. О. Площадь каждого выражаем по трём сторонам, за неизвестную берём сторону ромба. Уверен, как-то это всё сводится в систему, решается.
Ещё способ, которого пока не увидел в комментах. Двигая O || MN || KP не изменится S(∆MNO) и S(∆KPO). А значит не меняется и S(∆PNO) + S(∆MKO), если O не выходит за пределы MNPK. Аналогично для движения O || NP || MK получим S(∆MNO) + S(∆KPO) = константа. MN⊥NP, значит, двигая точку в любом направлении в пределах MNPK сумма противоположных ∆-в не меняется. Дальше уже просто.
