Я теряю корни ★ 99% ошиблись ★ Решите уравнение ★ x^x=(1/2)^(1/2) 

Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-UJHQ0CRmqT4.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-UJHQ0CRmqT4.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?

Метод подбора - это когда посмотрел правильный ответ в конце учебника, а как решить не знаешь.

"Методом подбора" 😂 Вот это самое сильное место в решении🤣🤣🤣

Главное смотреть с умным видом как будто всё понимаешь)))

В доказательстве существования второго корня есть логический пробел: то, что функция в минимуме отрицательна, а слева от минимума убывает, ещё не гарантирует, что она прошла через 0. Она могла бы, например, при движении вдоль оси влево стремиться к 0. Надо хотя бы показать, что где-то слева от минимума функция была больше 0. Это в какой-то мере компенсируется потом подбором второго корня (и его наличием), но всё-таки.

Из того, что функция убывает на отрезке (0,1/e] и имеет отрицательное минимальное значение в точке 1/e, не следует сразу же, что она пересекает на этом отрезке ось абсцисс, это нужно проверять.

Вариант решения за рамками школьной программы, но для любых чисел стоящих справа, а не специально подогнанных: x^x = a ln(x^x) = ln(a) x * ln(x) = ln(a) e^(ln(x)) * ln(x) = ln(a) W(e^(ln(x)) * ln(x)) = W(ln(a)) ln(x) = W(ln(a)) x = e^W(ln(a)) Где W - это W функция ламберта Если отбросить мнимые значения то, W от ln(1/2 ^ 1/2) для нашего примера принимает 2 значения при возведении Е в степень которых получается 1/2 и 1/4. Такие уравнения, если применять только школьную программу (и даже институтскую в некоторых вузах), включая дифференцирование, интегрирование, не решаются никак кроме как подбором. Поэтому маловато толку в таких примерах

Спасибо, Валерий !! Эту задачу сегодня решил похожим методом. Взял производную от х^х. Она берётся неявно через логарифмирование : y" = х^x *( ln(x) + 1). Далее получил промежутки возрастания и убывания и две точки пересечения ( не обязательно даже их знать ) с горизонтом y = sqrt(2)/2

Гениально. Никогда бы не подумал, что возможно a^a=b^b

Понравилось применение исследования функции к решению уравнения. Люблю этот приём. Хороший выпуск.) Спасибо.

Валера! Как всегда замечательно! Копал огород, устал -- думать не хотелось. Дай, -- думаю, -- посмотрю, как там решаются такие сложные задачи?... Легко! Даже стыдно теперь, что не стал напрягаться и сразу посмотрел ответ.

Можно еще прологарифмировать по основанию 2 log2(x) = -1/(2x), а потом просто стоить график, одна точка 1/2, следующая 1/4 - только ее и удобно считать. она и есть второе решение.

Всё верно, но два замечания: 1. надо проверить на то, что функция на исследуемом участке всюду дифференцируема 2. "Метод подбора".... извините, несколько странен для математики. Это хорошо ещё, что вы свели всё к целочисленной задаче, а если бы там полезли трансцендентные или хотя бы иррациональные числа? Вы уверены что во всех случаях надо вести подбор исключительно среди натуральных чисел?

Ну, если в комплексных числах решать, то наверное использовать W-функцию Ламберта. Для этого после логарифмирования обеих частей уравнения представим x*ln(x) = ln(x)*e^(ln(x)). Тогда после взятия функции Ламберта получим ln(x) = W(1/2*ln(1/2)) => ln(x) = W(-0.5ln2) => x = e^(W[i, (-0.5ln2)]), где i € Z. Получаем все комплексные решения уравнения. Действительные значения 1/2 и 1/4 получаются при i = 0 и i = -1 соответственно.

Метод подбора можно упростить. y½ = кв. корень y. Всё, что нам остается - найти одно единственное число, удовлетворяющее следующий запрос: y² = y * 2 = y + y, что легко сводится к 2.

Исследование функций прямо-таки облагораживает и заставляет мыслить

Очень красивое уравнение! Спасибо за Ваш труд)

Какой оказался наполненный пример (как айсберг, всего себя, кроме верхушки, скрывал под водой). Второй корень существует благодаря особенному свойству числа "2", 2+2=4, 2*2=4...? Спасибо Вам, Валерий! Счастливого Рождества!

Можно просто использовать производную (x^x)' = (x^x)(ln x + 1), а при её нахождении сослаться на соответствующее предыдущее видео. То, как устроена эта производная, быстро поможет понять, что корней на самом деле два.

На мой взгляд, даже несмотря на то что минимум f(x) лежит ниже оси абсцисс, ни разу не очевидно, что слева от точки минимума на области определения график обязательно пересечёт ось абсцисс. Если уж совсем строго рассуждать, необходимо посчитать предел функции при х->+0 и убедиться, что он больше нуля. И вот тогда пересечение будет очевидным.

Когда рисовали график справа налево: т.к. функция имеет корни справа от точки 1/е, и функция была возрастающая, то логично, что она пересекает ось абсцисс, но до точки 1/е откуда взялась уверенность, что там точно будет пересечение? Данный факт не очевиден. Функция (когда ее рисовали справа налево) могла постоянно расти постоянно приближаясь к 0, но могла и не пересечь ось абсцисс (т.е. быть ограниченной сверху). Надо дополнительно брать любую точку левее 1/4, подставлять в функцию и показывать, там значение больше нуля, а значит от этой точки до точки 1/е точно будет ещё один корень в виду непрерывности функции.

Т.е. наличие именно 2-х корней у функции f(x) нужно было проверить подстановкой и исследованием найденной точки минимума (1/e) в нее? Если точка минимума в отриц. области и функция слева убывает, то последняя 2 раза переходит через ноль и т.п.?

Есть неточность. Если функция меньше нуля и увеличивается при уменьшении аргумента это не значит что она станет положительной. Нужно было поставить например 1/10 и убедиться что значение положительное. Вот тогда можно уже утверждать что есть второй корень. Но решение супер. Спасибо!!

Ну-и-ну..... Это действительно интересно!

подбором? Не, так не честно!

Очень интересно, спасибо.

Как решать данную задачу, если метод подбора не работает? Можно ли решить равенство, содержащее x^x (икс в степени икс) аналитически?

Просто класс!!! Спасибо ❤️

Очень классно! Спасибо за ролик!

Свежая задача. Интересная.

Гениально! Очевидное не всегда является единственным.

Спасибо, было интересно!

Задача интересная. А можно ли решить ее по другому, другим методом?

Привет из Баку. Спасибо за нахождение второго корня.

Не очень очевидно, почему подбор второго корня производили среди чисел вида 1/n. Почему б 2/7 или 13/125 не проверить сначала?

Данное видео хорошо показывает, что решений в уравнении 2. Но вот нахождение второго корня, точнее его подбор... Хотелось бы узнать возможность нахождения второго корня для более общего уравнения, где "1/2" заменяется на "1/a", получится функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a). Все начальные выкладки данного видео сохраняются: 1/e - min функции, только при a>2 =3,4,5... второй корень будет находится правее 1/e, даже можно оценить, в интервале (1/e; 1). Т.к. уже при x=1 функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a) будет иметь положительное значение.

Супер! Спасибо!

Из всего решения я понял только как доказывается, что корня два. Первый корень находится на отрезке (1/e; бесконечность) и второй на отрезке (0; 1/e). А дальше начинаются чудеса! Первый корень 1/2 нашли каким то непонятным способом, который автор назвал "просматривается корень" :D. Второй корень 1/4 нашли вообще каким то сакральным способом :D. На интервале от 0 до 1/e находится бесконечное множество точек, а не только "1/3, 1/4 и т.д". Например, 4/13 и 3/11. Таким образом, получается, что второй корень был найден способом "тыкнуть пальцем в небо" и чудесным образом на второй попытке (из бесконечного множества) нашли нужный. Вы действительно считаете, что "просматривается корень" и "тыкнуть пальцем в небо" - это способы решения задачи? Попробуйте решить уравнение x^x=3. Интересно узнать как там просматривается корень и сколько раз будете пальцем в небо тыкать))

Показательно как человек усложняет себе жизнь,не только в абстрактном плане.

Very good and very educative. Thank you very much. And although I understand Russian very good (I studied in USSR in MEI) I am sorry for writing in English coz I don’t have Russian keyboard. I follow all your clips. Keep the good work. 🌺

На 4:37 логическая ошибка. То, что функция убывает, не означает, что она пересекала точку 0. Она могла убывать, например, начиная скажем c -1/N на области определения. Для правильности подхода, надо было подставить какую-то точку (скажем 1/10) и убедиться, что в ней функция больше нуля

Не понравилось решение в конце методом подбора. А если бы вторым корнем была бы сложная дробь, мы бы так просто не подобрали

В окрестности критической точки производная произвольной функции может не сохранять знак, поэтому вычисление значения производной в двух выбранных точках является математически некорректным. Не проще решить неравенство и определить в общин виде знаки производной?

Есть небольшая логическая ошибка: Функция возрастает, но она может не успеть достичь оси ОХ, т.е. возрастание функции не гарантирует наличие второго корня. Нужно добавить исследование предела справа от 0.

хохма в логарифмировании. Лог по другому основанию дает точку минимума в 1/основание - и таких точек минимума будет бесконечное множество в зависимости от выбранного основания логарифма. Причем дальнейшие рассуждения все будут верны и для логарифма по любому основанию, вот только точки пересечения слева от точек мин. (бесконечных в перечислении по вариации основания лог-ма) также ВСЕ будут бесконечно разные.... т.е. ур-е имеет бесконечное число решений...

Красиво! Спасибо **

Доказано что других корней нет, все ответы найдены, уравнение решено. Спасибо за решение.

Красивая задача, вот эта решается в уме через производную) Хотя если бы не напоминание, есть соблазн закончить решение на х=1/2

Валерий, давно хотел спросить, а почему всегда после нахождения точек экстремума, и в этой задаче, и во всех других, вы проверяете знак на всех отрезках между ними? разве не достаточно проверить лишь на одном, самом удобном, а далее прочередовать их?

Редкий случай,когда не хочется смотреть до конца. Почему-то не первый уже раз не начинаете с одз. Можно найти экстремум,а затем проводим прямую у=√0.5. Четко видео ,что две точки пересечения, т.к. самая нижняя точка (экстремум) функции y=√x в степени √х ниже ,чем √0.5. Такие уравнения лучше всего решать графическим способом. Это и просто, наглядно, и доступно. Да и на глаз видно,что ответы 0.25 и 0.5.

ф-ция x^x имеет экстремум (минимум), а потому пересечение ее с горизонталью 0,5^0,5 происходит в 2-х точках: x=0,25 и 0,5

Отличный метод решения! Если решать "в лоб", то с функцией x^x сплошные мучения будут.

Решение понятно, лайк. как же я функции не люблю. Когда диф уры будут.

Валерий, строго говоря, вы не доказали, что есть второй корень. Если функция убывает на (0;1/e], то убывать может по-разному. Важно, что при х -> 0+0 предел функции равен + бесконечности, тогда в силу разных знаков (при х, близких к 0 и в точке 1/e) график пересечёт ось х внутри интервала (0;1/e) А вот то, что корней не более 2-х, следует из исследования на монотонность Спасибо за задачу! П.С. Угадать 1/4 - тоже не очевидно, как...

First, see LHS. x power x we cant isolate x so we Lambert W function. Second, we power Both sides with (1/x). It becomes x= (1/√2)^(1/x). Now to use Lambert i.e W(xe^x) =x, we exponentially raise 1/√2 as e^(.5ln.5*(1/x)). Thus x= e^(.5ln.5/x). Now we multiply .5ln.5/x on both sides to utilize the Lambert function. Now .5ln.5 = ue^u which if we Lambert W both sides. We get X= (.5ln.5)/W(.5ln.5) Please Correct me If I am Wrong. :)

Дуже переускладнений метод що до "де зростаємо, де спадаємо". Він якогось біса у всіх підручниках є, але користуватись ним -- збочення. Як пропоную: розбиваємо функцію на добуток декількох монотонних (в даному випадку сама функція монотонна). В ідеалі -- монотонно-зростаючих. Якщо ми знаємо, що функція монотонно зростає, то лівіше свого нуля вона буде від'ємна, а правіше нуля -- додатна. далі можна просто відмітити нулі функцій на осі, поставити плюсик правіше крайньої точки і в кожній точці змінювати знак, якщо в ній непарна кількість функцій "занулюється", або НЕ змінювати -- якщо парна. Так само можна і з дробовими виразами робити. Замість монотонних підійдуть функції, про які ми точно знаємо що до їх знаку "зліва/справа" (наприклад: 1 / (x - 3) -- справа від 3 додатна, зліва -- від'ємна... вона в принципі попадає під "монотонну у знаменнику", але чисто для прикладу згодиться) В цьому випадку: f(x) = ln(x) + 1 нуль функції у f(1/e), вона монотонно зростає на інтервалі (0, +inf). одразу робимо висновок, що правіше f(x > 1/e) > 0, f(0 < x < 1/e) < 0 без додаткових підстановок та обчислень. В даному випадку це не набагато ускладнює, а от у випадках більш складних функцій -- за запропонованим методом просто одразу записується відповідь, поки "класики" все ще підставляють...

Так же решал, только производную брал сразу от f(x)=x^x. Ну, скажем прямо, что метод подходит только для халявы - когда подбором целых чисел (в данном случае - в знаменатель) можно найти недостающие корни:)

Спасибо за разбор! Есть пара вопросов: 1) почему убывание функции на (0; 1/е) говорит о наличии второго корня? Теоретически же предел к +0 может быть меньше ноля? 2) можно как-то без подбора решить?

Автор лукавит, так как в начале задачи не оговорил, что x^x это функция и поэтому x>0. А если не принимать эти ограничения, то можно найти ещё корни этого уравнения. Мы же умеем возводить в степень отрицательные числа на примере функции x^n. Кроме того, следует учитывать, что (1/2)^(1/2)=±1/√2 по формуле Муавра

Если x .это не числовой знаменатель, то он является просто значимым уровнителем на вторичной декаде 1 и ..2.. Где корень определения суммарных чисел является знак = = равенства!

Хорошая задача

Не надо неполному ответу придавать статус неверного. 1/2 - верный ответ, но не полный. Даже если вы догадались и назвали правильный ответ, в строгой математике к вам нет претензий. Подставили, проверили, верно, ответ принят. Если пропустили корень на экзамене, минус баллы. За неполный ответ.

Умножение эквивалентно возведению в степень для 2 и 1/2 - интересно, надо запомнить. В физике не так много мест с квадратичной зависимостью. А во фракталах?

Красота)

Потратив час і перечитав усі коментарі... Здається, не всі зрозуміли, що це був приклад того, яка небезпека очікує при розв`язуванні "Незвичних" рівнянь та може призвести до втрати коренів!!! Я думаю, це головне, а не спосіб знаходження самих коренів. Конкретно рівняння цього загального виду не мають аналітичного розв`язку. Корені з певною точністю можна знайти, використовуючи, наприклад, метод хорд тощо. Але спочатку потрібно з`ясувати чи є корені і скільки їх. Це ми робимо, наприклад, при розв`зуванні навіть рівнянь другої степені, знаходячи дискримінант! а вже потім самі корені... По суті, коли ми кажемо, що х=пі, то це також наближене значення з певною точністю.

Очень интересная интуитивно-недогадливая ситуация))

Заслуженный лайк.

Красивое интриговевидео Благодарю

исследовать можно и с помощью второй производной в критической точке: в данном случае легче и быстрее...

даже не пробуя, я вижу, что без вас я это не решу

Благодарю за знания

Супер!

Добрый день, всем. Раньше по математике в институте была пятерка. Сейчас прошло 11 лет и плохо понимаю даже это видео. Это нормально?

Чистая подгонка ответа. Откуда взялся натуральный логарифм, а не скажем логарифм по основанию 2 или 10?

Однозначно лайк!!!

Я не понял, а почему мы сразу отбросили 1/3 как корень и сразу взяли 1/4?

Не зря говорят решить интеграл или уравнение всегда легко, а попробуйте к задаче с текстовым условием подобрать ну почти, что такое же уравнение, а вот это не так то просто

x^x=(1/2)^(1/2) x1=1/2 Для нахождения второго корня возводим правую часть в квадрат и извлекаем квадратный корень x^x=(1/4)^1/4 x2=1/4

волшебно. х=1/4 никак не просматривался

Здо́рово! Никак не ожидал. Убедился, воспользовавшись графопостроителем Grapher для Android y=(x^x)-(½^½).

Супер! Численное значение 0.5^0.5=0.7071 и если написать "решите уравнение х^х=0,7071, то я уверен что два корня нашли-бы процентов 90. А так просто конфетка.

Вот это интересно. Мне понравилось. Но буду думать, бо х^х - это интересно. Семейные проблемы и алкоголь - голова и так на пределе.

Решений, вообще-то, много больше, если расширить поле корней на комплексное множество. Проще говоря, если искать ещё и комплексные корни. Два решения только среди множества действительный чисел R. К тому же куда проще было решить это уравнение графически, поскольку оно и так трансцендентное. Стало быть не имеет аналитической формы записи в виде простой формулы-ответа. Опять же - поиск производной есть одна из ступеней построения геометрического образа степенно-показательной функции (графика)

А можно найти второй корень аналитически через дубль-вэ функцию Ламберта. Правда, ответ будет страшненький, но это всё та же 1/4 . Именно этот второй корень через дубль-вэ функцию отображает Вольфрам Альфа. И вот тут в пору задуматься, а всегда ли рационально использовать аналитический метод...

Красивый корень. Я думал, во втором корне вылезет натуральный логарифм или что-то подобное.

На мой взгляд, второй корень находится, если представить, что х=(1/2)^n. Тогда легко показать, что n = 1 или 2. С учетом выкладок по производной оказывается, что ответа только 2.

Хорошее объяснение.

Тогда уж решите пример "Х = 1/2". Тоже много авриантов)))) х=1/2 х=cos(π/3)

Боже, какое счастье, что я закончи школу, да и вуз уже почти 10 лет назад, и забыл математику, которую там знал почти на отлично. Как мне жаль тех, кто мучается с этой недонаукой

КРАСИВО!

Мое решение x^x=(1/2)^(1/2). Это можно переписать как x^x = √(1/2) = x^2x = 1/2. Замечаем, что x должен быть равен (1/2)^2 = 1/4.

Когда я буду думать, что я достаточно умен. Буду включать это видео.

4:38 - с чего это мы решили, что функция второй раз пересчёт Ох?)

Увидев дробную степень сразу понял, что ответов будет как минимум два потому, что сложные корни "разных" выражений бывают одни и те же числа.

Помучиться,конечно,лучше.,,Белое солнце пустыни!

Прикольный анекдот, ничего не понятно но очень смешно. Смешалось все иксы, логарифмы, точки, осьобцыс, корни, побеги, лошади, люди...

Если бы была не 2 , а 3, таким методом не решить. А так, конечно, (1/2)^(2(1/4)=(1/4)^(1/4)) , волшебное число 2)

Не особо понятно. Как Вы пришли к выводу, что надо прологорифмировать? (не помню, чтобы мне говорили условия, чтобы это сделать (20 лет назад)) зачеркнутый ответ нельзя зачеркивать - это один из корней)

Спасибо. Прелесть.

Здравствуйте! А как вы думаете, что такое Х.?