✓ Формула Ньютона-Лейбница. Что такое первообразная и интеграл | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин 

Приходят в бар два математика. Один постоянно жалуется, что никто из простых людей не знает математику. Через пару минут он отходит в туалет, а его друг подзывает официантку и говорит: - Через некоторое время я снова позову Вас и задам вопрос, суть которого не важна. Но Вы должны ответить на него "минус косинус". -Ми-кус чё?? -Минус косинус. -Ладно. Возвращается первый математик, а второй ему говорит: "думаю, ты не прав. Математику знают многие. Давай проверим" Подзывает официантку. -Вы нам не напомните, чему равен интеграл синуса х? -Минус косинус. Первый математик удивлённо смотрит на нее, а она похлопывает второго по плечу и говорит: -Плюс константа!

Сколько лет я бегал от всех этих интегралов. Но поступил в медицинский, и вот - я тут. UPD: интегралы так и не выучил, но учиться это не мешает:)

Закончил школу в 87-м году. Начал изучать математику в 2020-м.

Ля, чел, +rep. В школе так хреново это объясняют, а тут за 20 минут я так преисполнился будто уже миллионы миллиарды лет решаю интегралы. Спасибо

Главный мой вопрос на уроках математики : " Почему это работает именно так ?" А самый частый ответ на этот вопрос : " Потому ! " Первообразная и интеграл , исключениями не стали . Спасибо за объяснения .

Господи это единственный человек который дал мне мотивацию и надежду что у меня получится разобраться в матане. Спасибо ✨

Мне 60 лет,можно конечно было и акробатикой заняться, но меня прибило в матем. Прям кайфую, что кое что понимаю именно осмысленно. Получаю ответы на вопросы : почему,как и зачем. Спасибо.

Я учился в те годы когда в школе не было интеграла., 60-70-е годы прошлого столетия. Мне попался учебник с интегралом, с криволинейной трапецией. Смотрел я в книгу и видел фигу. Ничего не понимал. Как посчитать эту площадь? Я додумался, до прямоугольников и посчитал арифметически, а потом сделал формулу. Собственно и всё. Некому было подсказывать.....

Приятно удивился, увидев такое название) Спасибо, очень доходчиво рассказываете!

9:50 Если вместо f(x)dx подставить функцию скорости от времени, то есть v(t)dt, то вместо F(b)-F(a) будет конечная координата минус начальная координата. В принципе, формулу Ньютона-Лейбница можно понять интуитивно.

Не предпологал что от ваших объяснений будет на душе чудесно кейф. По средствам Глаз и уха мозг получает удовольствие от вашей подачи информации даже не догадывался что это может быть так увлекательно. Вы большой умница. Ваше отношение и любовь к излогаемому радует.

Круто 👍 Благодарим за труды!

Очень понятное и полезное видео! Спасибо болшьшое. Я студент 5 курса матфака педвуза. Занимаюсь репетиторством. Школьники часто возмущаются, когда я начинаю рассказывать им о том, что "откуда берётся". Говорят: "Мне это не нужно". Когда я сам учился в 11 классе и учительница объясняла производную по определению (через предел), то те одноклассники, которые занимались с репетиторами/ на курсах, и которым УЖЕ объясняли производную, демонстративно отказывались решать задачи на вычисление пределов, т.к. уже знали готовые формулы для производных. Я это всё к тому, что не стоит винить учителей в той печально картине, которая складывается (с жонглированием непонятными фактами). В этом виновата система в целом.

Очень долго пытался понять интегралы, и только благодаря этому видео до меня дошло. Спасибо, за такое прекрасное объяснение!

Спасибо большое, дружище! Очень помог мне, да и многим людям вообще))))

Молодец, супер!!!! Клевый мужик и математик, мне очень нравится, не знаю такое ощущение, что хочется слушать и слушать этого четкого, крутого мужика, были бы все математики такими

Балииин! Где вы были 19 лет назад на пером курсе, что бы я не шарахался от этих интегралов?! )))

Спасибо, Борис, за честность.

Самое понятное объяснение из тех которые видел. Отдельное спасибо за пример с интегралом от а до x. Рассмотрев реальное 'схлопывание' первообразной в функцию, всё стало куда понятнее 👍

Спасибо за видео, Борис Викторович!!!

Спасибо огромное!!!!Круто объясняете!!!!!

я уже на двух каналах привёл такой пример. То, что производная от перемещения есть скорость ни у кого сомнений не вызывает. Именно перемещение, а не траектория. Допустим график перемещения есть парабола S= T*T ( т.е. в квадрате). По горизонтальной оси у нас время, в по вертикальной перемещение. Чистое перемещение в пределах промежутка времени t2-t1 является разность S(t2) - S(t1). Если мы функцию S(t) продифференцируем, то получим функцию скорости от времени V=2t. Площадь под графиком функции v=2t в пределах того же промежутка времени t2-t1 есть перемещение, которое вычисляется как сумма площадей кучи прямоугольничков и в итоге стремится к числу S(t2) - S(t1) , которое в чистом виде мы получили ранее из графика перемещения. Вот и получается ( формула Ньютона-Лейбница) , чтобы найти площадь под графиком, нужно найти первообразную этого графика и взять разность значений.

Огромная благодарность тебе за ролик.Я студентка первого курса экономики , и было очень познавательно ,чтобы расширить понимание и знания!!!!!!

Nice job, Boris Trushin!

Из всех видео про интегралы это дало мне наибольшее понимание темы

В школе и в техникуме были супер учителя по математике. Все было понятно и я любил это дело (интегралы, дифы, ряды, последовательности). Научили 35лет назад так хорошо, что все ваши объяснения были понятны и приятны - тряхнул стариной. Погогал своим детям разбираться в них, когда те учились. Сейчас могу брать интегралы, для меня это как кроссворды гадать, но.... Мне уже 55, всю жизнь отработал в области электроники - так ни разу они мне и не понадобились - ни в быту ни по работе.

Спасибо за урок!

Очень полезное видео! СПАСИБО.

Спасибо Борис! Пенсионерку давнюю завлекает Ваша математика!

Талант! Вот бы такого учителя в школу!

Спасибо Вам большое!

Спасибо большое за видео, очень понятно)

Ну у меня нет слов.Спасибо!!!

Спасибо большое! Пропустила пару занятий в школе и долго не могла врубить смысл всех вычислений, делала все по заученному алгоритму( Вы в который раз вернули мне мотивацию!

Почему так прекрасно...

Отлично объяснено! Большое спасибо.

Эх, вспомнил свой первый курс на физфаке-1982, матан, и настойчивое пояснение преподавателя: "Вот это дельта-икс - это не ЭТО дельта-икс!.." - тычки указательным пальцем в доску поясняли, о чём именно речь ;))) На самом деле в данном ролике всё отлично ;) Ну и анекдот в нагрузку: Только неграмотный человек на вопрос приезжего: "Как найти площадь Ленина?" - ответит: "Надо умножить длину на ширину". Грамотный скажет: "Надо взять интеграл по поверхности!"

Очень интересно удачи и сил тебе👍👌✊

Эти вещи усваиваются с течением времени, то есть не сразу, считаю, что для первого раза хватит и знание самой формулы Ньютона-Лейбница, а суть, то есть замысел, содержание Формулы придёт со временем..., с годами, по мере проявления интереса к этой теме. А так... всё здорово, Вы как всегда на высоте! Знаете математику изнутри!!! Крассссссава!!!

наконец-то понял! Огромное спасибо!

Спасибо за ролик )

Спасибо! Ты прекрасен! От души!

Спасибоо тебе большое🤗

это как "Даша-путешественница" для математиков. такие забавные интерактивы, будто в аудитории сижу на паре

толково! я въехал! Спасибо!

Браво !!! Закончила технический престижный вуз , брала интегралы не единожды ,не слишком понимая , а как бы формально. И вот сейчас впервые встретила разумное объяснение. Еще раз браво !)))

Великолепно!!!

поступил в ВУЗ, готовлюсь к сессии. спасибо, помог вспомнить :)

Более простое объяснение теоремы Барроу не встречал :)

благодарю!!!

Большое спасибо !

Красавчик, полезный канал

Спасибо вам за объяснение почему же площадь под графиком и есть разница первообразных в точках данной функции

Очень доходчиво просто хорошо обясняет(шь).

Афигеть, я после вашего урока , начал любить математику еще сильнее :)

всё то что вы рассказывали, вроде как я изучал в школе и вузе. Благополучно забыл ))). Помню очень смутно. Сейчас по работе столкнулся с цифровой обработкой сигналов, поэтому я тут ))). Кстати когда автор разбивал функцию на составляющие, что бы посчитать площади (для их сложения - поиск общей площади) - этот метод разбивки очень похож на оцифровку непрерывного (аналогового) сигнала. Так называемую дискретизацию. Чем выше частота дискретизации сигнала, тем точнее вы воссоздадим и обработаем нужный сигнал. Очень интересная тема! Спасибо автору!

Когда сдал все экзамены по производным и интегралам. С производными все было более-менее понятно, но назначение интеграла для меня до сих пор было «китайской грамотой». Сейчас все это я забыл, но, наконец, понял назначение интеграла. Спасибо.

Спасибо!

Прям жизненно про школу, лайк

Вы самый лучший препод! Давайте логарифмы разберём!

Снимите видео о применении производных и первообразных в реальных задачах повседневности в физике например

Супер!

У Бориса мега крутое интро. Ценю. Лайк не гляда (конечно не из-за интро) )

Спасибо Борис .Отличное объяснение .Да ,Вы правы , в школе да и в ВУЗе очень часто стремятся дать аппарат для решений заданий ,совершенно не углубляясь в суть понятий .В общем их можно оправдать ограниченным временем ,а самое главное ,что контролируется результат решением ЕГЭ(или другого тестирования) ,где нужно подставить значения в формулу и глубокого осознания не требуется . Например ,на мой вопрос преподу на уроках по производным объяснить более конкретно суть дифференциала ,сказала ,что это не главное, если время останется .А как можно оперировать понятиями не вводя их ясного определения ?Объясняя суть бесконечно малых ,сказала ,что это ,если торт разделить на 20млн. частей ,то каждому достанется бесконечно малая ,а на моё замечание ,что такой подход в корне не правильный огорчилась :). В общем самообразование и ещё раз самообразование ,и в том ,что оно возможно и доступно(по крайней мере пока) огромная заслуга Вашего канала и подобных ,где каждый может найти объяснение доступное для него ,да ещё и задать интересующие его вопросы и получить компетентный ответ . Ещё раз спасибо .

Бориса Трушина можно смотреть на скорости 2х и всё досконально понимать😍

На часах 2:54 и я понимаю, что просто обязан понять, что такое интеграл....

Формула НЛ меня всегда немного удивляла. Ведь из неё следует, что если взять две разных функции, у которых в каких-то двух точках разность первообразных одинаковая, то и площадь под графиками будет одинаковая, а это вот совсем не очевидно и даже непонятно.

Прекрасное объяснение для 10-ка, которому в физике очень потребовались интегралы и производные

Борис, мои поздравления! 30 000

Трушин Герой! И не с маленькой буквы, а с БОЛЬШОЙ! Герой!

"максимально честно про интеграл", все что ты хотел знать, но стеснялся спросить!)))

Борис, спасибо Вам большое за Вашу работу, я хочу, чтобы Вы знали, что это помогает людям!!! Очень интересно и понятно излагается информация!

Ура, интегралы! Спасибо!

Ура!!! Трушин перед комиссией, как это символично

Мне эти знания очень помогали при выполнении курсовой работы) высчитывал многие значения и мощности и крутящего момента, все возможные силы и т.д. под графиками. это позволяло и проверять правильность вычислений по формуле, и вычислять значения где не было готовых формул) не знаю в каких программах сейчас студенты работают, а мне в 2009 хорошо помогал Mathcad))

Спасибо

Просто лучший

Ура ,чудо чудесное. Все чудесатей и чудесатей чудеса !

Жаль у нас раньше не было таких лекций.

Очень крутое видео, можете снять подробное видео про пределы ?)

Отлично объясняете, где появляются первообразующая, лимит, интеграл и связь между ними и в одном примере непринуждённо показали всё. Я раньше увлекался музыкой и подбирая (копируя) её на слух нашёл много закономерностей и связей, благодаря которым, обучал ритм - гитаристов. Обычно с первого урока, когда не понятно бывает отвращение, но все, кому объяснял стартанули дальше. Вы тоже необычной и простой подачей сложного заинтересовали меня математикой. Спасибо огромное!

Наш учитель в лицее, Валентин Филлипович Кожевников (Царство ему небесное!) говорил :"Интеграл это бесконечно большая сумма бесконечно малых величин", конечно имея в виду "сумма бесконечного числа бесконечно малых величин".

спасибо

( продолжение). Второй тип- определение -«критерий проверки», когда не сказано как получить, а сказано как проверить. Пример1): sqrt(9)=(претендент)- это такое число, что , если возвести его в квадрат- получим то, что под корнем. Но таких чисел два: +3 и-3. Для однозначности определения вводят второй критерий: (претендент)>=0. [не путать с корнями уравнения x^2=7. Их два- x1=sqrt(7)>0 и x2=-sqrt(7)

Очень круто

Запредельно круто, да!

Сдавал на ЕГЭ матан и физику (+ гуманитарные предметы) -> поступил на истфак -> прошел год -> соскучился по математике

Борис, сделайте, пожалуйста, серию видео про диф. уравнения.

Молодец преподаватель . Прочувствовал гимнастику для ума в очередной раз . Но для лучшего понимания интеграла его удобнее рассматривать в физическом приложении . Когда есть динамика процесса оно как то более комфортно (можно вспомнить провокационное высказывание Феймана).

Спасибо за доходчивое видео. Необычно слушать как голосом и подачей Владимира Соловьева подаётся что-то очень нужное и полезное!))

А теперь давайте еще интеграл по Лебегу)

Нам это в школе рассказывали... Но я это успешно забыл! 35 лет прошло!

12:52 - да, это жёстко!

Thanks!

Офигеть спасибо

Интеграл - это сумма площадей прямоугольников, под функцией f, ширина которых стремиться к нулю. Конец Именно потому что это сумма, используется вытянутая S (Summa) в начале. dx показывало то, по какой оси мы берем дельты ширины (слово дельта уже было занято другой буквой, поэтому Лейбниц использовал слово differentia [дифференциал], что означало "бесконечно малое"). Появился интеграл, потому что Ньютону нужна была площадь под параболой. Зачем? Чтобы узнать расстояние брошенного тела. Расстояние - это скорость на время. Если обозначить время на оси X. а скорость на Y, то при постоянной скорости расстояние находится очень просто: v*t, т.е. получаем площадь под прямой скорости v., Если скорость меняется, то над осью времени мы увидим кривую. Площадь под этой кривой дает нужное нам расстояние. Лейбниц привел все в красивую мат форму. Если аккуратно вычислять площади прямоугольников для разных функций под ними, можно составить таблицу интегралов. И только потом, после интегралов! задумались, а что если в обратную сторону: по изменению расстояния от времени найти как менялась скорость. И получили понятие производной (derivat в оригинале). В обучении до сих пор меняют местами причину и следствие. Исторически же, сначала был интеграл, потом производная. Кстати она записывалась по-другому, но потом захотели взять еще одну производную от скорости чтобы получить ускорение, потом от ускорения толчок... Начали кратко писать римские цифры над функцией, которые превратились в штрихи, хотя четверная производная все равно запишется как IV

Осталось рассказать как брать тройные интегралы)

Борис, а вы можете снять такое же видео, но только про интегрирование по Лебегу? Было бы очень интересно узнать разницу. Спасибо

Спасибо, пошел смотреть, что такое первообразная)))

Мужик,ты красавчик