Olympiades : 2ª + 2ᵇ + 2^c = 1120 

j'ai décomposé 1120 en puissances de 2, soit 1120 = 96 + 1024 = 32 + 64 + 1024. À partir de là on peut plus rapidement en déduire les valeurs de a, b et c (resp 5, 6 et 10).

1. L’écriture en binaire est évidemment la solution la plus rapide. Sinon, on peut faire le raisonnement suivant. On nous dit que a < b < c. Cela implique de 2^b vaut au maximum la moitié de 2^c. De même 2⁰ vaut au maximum la moitié de 2² soit le quart de 2^c. Donc 2^a + 2^b vaut au maximum 0,75 fois 2^c, donc 1120 vaut au maximum 1,75 fois 2^c. On en conclut que 2^c est supérieur ) la moitié de 1120 soit 560 qui est supérieur à 512. D’où 2^c ne peut être égal qu’à 1024 et donc c vaut 10. Il resterait un surplus de 96, et un raisonnement analogue permet de déduire les valeurs de a et b. 2. Et merci pour vos exercices.

C'est passionnant les mathématiques. Merci Professeur. Amitiés.

Comme l’ont dit d’autres: le binaire est idéal pour ce problème et voici comment ça marche En fait le binaire c’est le principe que chaque nombre peut être exprimé comme la somme de puissances de 2. Le nombre 101 en binaire c’est en fait égale à (1x2^2)+(0x2^1)+(1x2^0)=4+0+1=5 en decimal Du moment qu’on sait que TOUS les nombres décimaux peuvent être exprimés ainsi, et qu’il n’y a QU’UNE SEULE façon de le faire, alors tout va bien. Notez bien: ceci est possible car les valeurs de a, b et c sont différentes. Le principe: trouvez la puissance de 2 la plus proche en dessous du nombre: Ceux qui font de l’informatique savent que 2^10=1024 (c’est une valeur courante). C’est la bonne car la suivante est deux fois plus grande (2^11=2x2^10=2048) Donc de tête j’ai fait 1120-1024=96 Et on recommence donc avec le reste de la soustraction : la puissance de deux la plus proche c’est 64 (qui est 2^6) 96-64=32 qui est une puissance de 2 (2^5) En d’autres termes, la valeur décimale 1120 s’écrit ainsi en binaire: 10001100000 Une fois que tu as compris ça, tu peux créer autant de problèmes que tu veux: il suffit de partir du nombrE en binaire. Par exemple: 1001001100 (j’ai écrit ça au hasard) C’est 2^10+2^7+2^3+2^2 Ce qui fait 1024+128+8+4=1164 Donc l’énigme serait 2^a+2^b+2^c+2^d=1164 Et la seule solution possible est a=2 b=3 c=7 d=10

There is much faster solution. What you need is only a logic analysis of right hand side (1120). But you also need to make some conditions: a, b, c belongs to R (real numbers) and they are integers. 1120 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 35 1120 = 2^5 * (32 + 2 + 1) 1120 = 2^5 * (2^5 + 2^1 + 2^0) 1120 = 2^10 + 2^6 + 2^5 for a < b < c a = 5 b = 6 c = 10

J'ai 24 ans. J'en ai fini avec les mathématiques depuis 7 ans. Mais je regarde quand même. J'aime.

Cela fait plus de 30 ans que je n'ai pas touché à des exercices de maths ... et bien, c'est pas comme le vélo, on perd très vite. Mais ca revient. Merci pour ton enthousiasme, j'adore ton approche très ludique. Merci pour tes vidéos.

Pour ma part, j'ai cherché la seule valeur de c possible, puis j'ai ensuite trouvé les seules valeurs de a et b possibles. Et voici les valeurs des puissances de 2 pour faciliter la lecture : 2^0 = 1 2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8 2^4 = 16 2^5 = 32 2^6 = 64 2^7 = 128 2^8 = 256 2^9 = 512 2^10 = 1024 2^11 = 2048 2048 > 1120 c < 11 512 + 256 + 128 < 1120 c > 9 c = 10 1120 - 1024 = 96 2^a + 2^b = 96 128 > 96 b < 7 64 + 32 = 96 a = 5 b = 6 S = {(5 ; 6 ; 10)}

Probablement mon côté informaticien, mais j'ai décomposé en puissance de 2 comme si je voulais l'écrire en binaire^^ ca donne vite 32 + 64 + 1024 donc 5 6 et 10

J'ai procédé autrement, façon empirique mais comme il s'agissait d'un exercice de prof de maths, ça devait marcher ;). Je suis parti de 2^10=1024, ensuite 1120-1024=96. 2^6=64 et 2^7=128, donc j'ai choisi 2^6. 96-64=32=2^5. Ensuite comme a

je suis parti à l'inverse, sachant a

Je me sens un peu truand sur ce coup là, parce que la puissance de 2 que je connais qui se rapproche le plus de 1120 c'est 1024. Soit, par les logarithmes, c = 10. De là on trouve aisément que 1120-1024 = 96 soit 64+32, et donc en appliquant les logs à nouveau, a=5 et b =6. De toute façon vu que a

Le mathématicien Maths Applic vient de publier une vidéo "inspirée de Hedacademy ", dit-il: Son équation est "2^a-2^b+2^c =120 où a,b,c entiers naturels " Mais il n'a rien compris de ton talent. Du coup, il a suivi aveuglément ta méthode en factorisant par 2^a alors que cette factorisation n'est valable qu'avec TA condition a

J’adore cette démonstration, Bravo ! Ca fait longtemps que les maths sont derrière moi… Mais J’ai vite retrouvé des bases du calcul binaire d’une valeur numérique sur plusieurs digits… Soit pour la valeur 1120 les digits de poids 5, 6 & 10 sont vrais les autres sont faux… 🤓

La démonstration proposée est intéressante mais à mon sens inutilement compliquée et donc pas en adéquation avec le contexte du problème posé ici (olympiade de maths). On dispose dans l’énoncé d’éléments précis (et simplificateurs) permettant d’arriver à la solution très rapidement et avec un minimum de calculs, à savoir qu’il faut trouver _exactement_ trois puissances de 2 (pas une de plus ou de moins), _toutes différentes_ (c’est en fait l’élément le plus important) dont la somme soit égale à 1120. Les candidats sont donc : 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 et 1024 (les puissances suivantes étant évidemment hors concours) parmi lesquels il faut en sélectionner 3 à additionner pour obtenir 1120. Ceci étant posé, on voit immédiatement que 1024 fait forcément partie des nombres cherchés puisque sinon, le plus grand total possible serait 512+256+128 = 896 < 1120. Il reste donc à trouver deux autres puissances de 2 dont le total fasse 1120-1024 = 96. Là encore, le même raisonnement permet de voir de façon évidente que 64 est forcément l’une des deux (sinon le plus grand total possible serait 32+16 = 48, trop petit), il reste donc 96-64 = 32 qui est la dernière puissance cherchée. Au final, on a donc sélectionné, dans notre liste des puissances de 2, la cinquième, la sixième et la dixième soit (a,b,c) = (5,6,10) Et voilà, pas de factorisation, pas de décomposition en facteurs premiers ni de conversion en binaire, juste un raisonnement basique et un minimum d’opérations (même pas de multiplication, lister les puissances de 2 ne requiert que des additions), difficile de faire plus simple… 🤓

Un développeur avec un peu d'expérience le fait de tête assez rapidement ;) A part ça, la mention a

On montre d’abord que c 10 ne marchent pas donc C =10. Donc 2 a +2 b= 96x on montre que b 6 ne marchent pas . Doc. B=6 et 2 a = 32 donc a=5. Ça va très vite car à

J’ai trouvé la réponse de tête en connaissant les puissances de 2, mais la solution mathématique est vraiment super, jouer sur l’identification par parité est astucieux ! Merci !

Bon déjà comme le résultat est entier alors a; b et c sont >0 😅😅 j’ai plus trop d’idées là Bon finalement j’ai quand même essayer sur un papier et j’ai fait comme ça: On avait dit que a; b et c sont des entiers naturels non nul. Comme a

Alors, en partant du principe que a, b et c sont des entiers (parce qu'il faut d'abord partir sur une hypothèse facile) et comme dit dans l'énoncé a>b>c; Je sais que 2^9=512, 2^10=1024 et 2^11=2048; donc c9 parce que sinon c n'est pas le plus grand des exposants 1120-2^10=96 avec la récurrence de raisonnement, on trouve b=6 et a=5 Mais la solution avec la transposition binaire est à mon sens la plus élégante.

Je suis un grand fan de vos videos et je m'amuse à faire les exercices avant de les regarder. En général je trouve la bonne réponse en appliquant les principes mathématiques et très souvent, même si j'ai trouvé la bonne réponse, je me fais avoir par votre méthode qui consiste à aller au plus simple. Pour une fois j'ai appliqué ce principe. Comme d'autres l'ont écrit en dessous, j'ai pris la plus grande puissance de 2 inférieure à 1120, soit 1024. Je l'ai soustraite à 1120, ce qui me donnait 96. Par la même méthode j'obtiens 64 et 32. Coup de bol, mais ça marche. C'est comme ça que vous faites, d'habitude. Cela ne m'a pas empêché d'apprécier votre méthode. J'en profite pour vous féliciter pour votre travail. J'espère que vos élèves mesurent la chance d'avoir un prof aussi enthousiaste dans ses démonstrations.

Je me suis rappelé que vous aviez fait une vidéo semblable. J'ai trouvé en m'aidant un tout petit peu de votre précédente vidéo. La factorisation est indispensable si on veut aller loin en math.

en fait des le debut tu sais que c = 10 car sinon vu que a

Ah! Ah! Quand on est informaticien et qu'on sait compter en binaire, c'est facile. 1120 s'écrit 0000 0100 0110 0000 en binaire, et il suffit de compter la position des 1. (le bit tout à droite, c'est 2^0; celui un cran à gauche, c'est 2^1, puis 2^2, 2^3, etc)

Décomposer un nombre en somme de puissance de 2, ça revient à ecrire le nombre en base 2. J'ai donc ecrit un tableau en commençant par 1024 qui est la plus grande puissance de 2 inférieure à notre nombre. Puis j'ai fait la soustraction et j'ai recommencé, un meu comme une division.. On retrouve le résultat très rapidement de cette façon.

Pour trouver les valeurs de a, b et c, nous devons résoudre l'équation 2^a + 2^b + 2^c = 1120, en tenant compte des contraintes a

J'ai fait différemment En informatique et en logique binaire de manière générale (tout ce qui est puissance de 2) on apprends qu'on en sommant toutes les puissances de 2 jusqu'à 2^n on arrive à (2^n) - 1 Donc, 2^n est toujours > à la somme de plusieurs 2 puissance qqch quand ces qqch sont < n (et différents les uns des autres) J'espère j'ai été clair Donc comme on sait que dans l'énoncé, 1120 est la somme de trois puissances de 2 - on prend la plus grande puissance de 2 qui s'approche de 1120 : 1024 On fait 1120 - 1024 = 96 On prend la plus grande puissance de 2 qui s'approche de 96 : 64 96-64 = 32 et C'EST FINI On obtient 32 + 96 + 1024 = 1120 Donc a=5 b=6 et c=10 J'espère j'ai été clair dans mon explication compliquée

2^10+2^6+2^5 la solution de Gilead est une façon de faire, une autre façon de faire étant de diviser par deux jusqu'a un nombre impair, puis retrancher un puis diviser par deux etc (ordre inverse) si on connait les puissances l'autre exemple cité vient tout de suite 4080=4096-16. Il me semble que la solution de Gilead Maerlyn est assez naturelle.....à mediter...

Magnifique 😊, il me semble que tu pourrais être prof de maths 🤣🤣

ben si on fait de l'informatique c'est la traduction en binaire ( puissances de 2 ) : EN programmation on doit connaitre ces limites suivant les types de variables utilisées ( signed, short, int, long ) limite de 16 bits: 1, 2, 4 ,8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65636 Dans 1120: la plus petite puissance de 2 : 1024 ( 2^10 ) reste 96 : on enlève 64 ( 2^6 ) reste 32 ( 2^5 )

Vous me faites tous sourire avec votre binaire mais ici le but est d apprendre une methode. -tout le monde ne connais pas le binaire -on peut faire le meme exercice avec des puissance de 3 la methode marchera. Pas votre savoir du binaire. -Ces videos s adressent aussi a des etudiants (principalement ?) Et si dans une copie ya pas la demonstration juste le resultats c'est pas suffisant.

On sait aussi que quelque soit la base b choisie la décomposition en somme de a*b^i est unique (1 =0). Donc en décomposant 1120 en somme de puissances de 2 (comme beaucoup de gens, dont moi, l'ont fait, comme indiqué dans les commentaires), on peut plus facilement et plus rapidement en déduire a, b et c.

Quelle régalade!!!! 🤩 Bon j'avais fait l'truc à la Barbare !!!😱et ...bien sur pas aussi élégamment que the Meister!! 🙏😔🙏 Richard dl'la Yaute 👍😎🏁🐆

Connaissant bien les puissances de 2, j'ai vu très vite sans rien poser ni calcul compliqué que {a,b,c} = {5,6,10}

a < b < c 2^a + 2^b + 2^c = 1120 2^a (1 + 2^(b - a) + 2^(c - a)) = 1120 = 4 x 280 = 4 x 4 x 70 = 4 x 4 x 2 x 35 = 2^5 x 35 => a = 5 et 2^(b - a) + 2^(c - a) = 34 2^(b - a) (1 + 2^(c - a - b + a)) = 34 2^(b - a) (1 + 2^(c - b))= 34 = 2 x 17 2^(b - a) = 2, b - a = 1, b = 6 2^(c - b) = 16 = 2^4, c - b = 4, c = 10

J'ai converti 1120 en binaire et ça a été beaucoup plus simple et rapide !

J'avais utilisé la décomposition du nombre en binaire (méthode plus rapide, mais du coup c'est intéressant de voir ta méthode de résolution, toujours bien expliquée👍

Tellement + vivant et plus communicant que la moyenne des profs sur les réseaux. Merci !

Avec l'informatique, j'ai vite pensé en binaire. 1120 ? Donc il y'a surement du 1024. 1120-1024 = 96, donc si on prends par ex 32, 96-32 = 64 = 2^6 ( + 2^5 pour 32 et 2^10 = 1024)

T’es vidéo sont tellement bien que Je regarde t’es vidéo à 2h du match à cause d’une insomnie.😂❤

après un bac C en 1975 je te regarde comme une série Netflix et j'apprécie

Très bonne vidéo, bien expliqué. Avec votre permission, je compte faire la même vidéo sur ma chaine en ajoutant un signe - devant 2^b. Sans l'hypothèse a < b < c que vous avez mis, on aurait pu aboutir au triplet suivant comme solution (5,6,10) et toutes ses permutations car l'équation est symétrique. Merci pour cette belle vidéo.

L'écriture d'un nombre dans une "base" numérique est unique et pour la base 2 les coefficients des puissances de la base sont 0 ou 1 donc la question a une solution unique avec des entiers si 1120 est décomposable sur 3 puissances de 2 ...ce qui est le cas. Maintenant si a,b,c ne sont pas des entiers...il y a une infinité de solutions par exemple a=6,3 c=9,5 et soit d=1120-2^9,5-2^6,3 et b=ln(d)/ln(2) valeur exacte qui vaut environ 8,3089.

J'adore ! avec vous les maths sont trop cool

Merci pour le défi, un collègue ;) ... défi relevé, avant visionnage! Un pouce bleu bien-sûr!

Avec des puissances de 2, c'est très facile pour un informaticien comme moi car je connais toutes les puissances de 2 jusqu'à 2^16 (65536). Je l'ai fait de tête : 1120 - 1024 = 96, 96 - 64 = 32. 1024 = 2^10 , 64 = 2^6 , 32 = 2^5 Pour me défaire de ce que je connais par cœur, j'ai refait l'exercice avec des puissances de 5. J'ai reconstruit l'équation en calculant 5^2 + 5^5 + 5^8 = 393775 Puis j'ai essayé de résoudre l'équation : 5^a + 5^b + 5^c = 393775 5^a ( 1 + 5^(b-a) + 5^(c-a)) -> ce qui est entre parenthèses n'est pas divisible par 5, puisque c'est 1 + un multiple de 5 J'ai retrouvé le même raisonnement que le professeur, ouf ! Pour arriver aux puissances 2, 5 et 8 que j'avais utilisées pour bâtir l'équation.

j'avoue que j'ai trouvé (pour une fois) la solution en 10 secondes, d'habitude, j'ai du mal en 2 minutes 😉. La solution a été donnée par d'autres, mais face à ce nombre, je suis simplement passé par les puissances de 2, j'ai commencé par la plus proche qu'on connait qui est 1024. Il restait 96, j'ai pris 64 et il restait 32 qui est une puissance de 2. J'avais donc mes nombres presque instantanément 2^5,2^6 et 2^10. Dans une olympiade, j'aurais rattrapé du temps cette fois-ci. 🙂

Y a une méthode assez sympa avec les puissances de 2, on peut se servir d'une forme de dichotomie. Je m'explique : quand on ajoute des puissances de 2 sans coefficients (2^a + 2^b + 2^c c'est le cas) on ne pourra jamais atteindre 2^(c+1), puisque c est la plus grande puissance et que si on faisait la somme des 2^k de 0 à c on obtiendrait très exactement 2^(c+1) - 1. Forts de cette observation, on note toutes les puissances de 2 jusqu'à 1120. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024. Pour former 1120, on est obligé de mettre un 1024, sinon on ne pourra jamais atteindre 1024 simplement avec des puissances de 2 inférieures (512 et plus petit), or on veut atteindre 1120. ON injecte donc un 1024, et restent 96. C'est du gâteau, 96 = 64 + 32. 1120 = 1024 + 64 + 32 = 2^10 + 2^6 + 2^5. a=5 ; b=6 ; c=10 C'est la méthode de conversion en binaire d'ailleurs... 1120 (dec) = 10001100000 (bin)

Question trivial pour un informaticien. En gros quel est le code binaire de 1120, c’est immédiat. On sait qu’il n’y a qu’une seule façon d’écrire 1120 en binaire donc en décomposition de puissance de 2. Le plus proche de 1120 c’est 2ˆ10 = 1024; il reste 96. Le plus proche c’est 64=2ˆ6, il reste 32. Le plus proche c’est 32=2ˆ5.

J'ai trouvé le résultat par déduction sans factorisation ou décomposition : La somme donne 1024 donc la valeur de c ne peut être supérieure à 10 car 2^11 = 2048, c étant l'exposant le plus grand ; ensuite on voit que nécessairement c=10 car si c=9 on a 2^9 = 512 il vient qu'on ne peut jamais atteindre 1120 car même en prenant 7 et 8 pour a et b (les plus grandes valeurs possibles), on a 128 + 256 + 512 = 896 < 1120. Donc c=10 et 2^c = 1024 ensuite il reste 2^a + 2^b = 96 (en soustrayant 1024 des deux cotés). Avec un raisonnement analogue on trouve que b=6 car 7 impossible (2^7=128) et si b inférieur à 6 on ne peut jamais atteindre 96. Il vient donc que a=5. cqfd

Je l'ai fait de tête grâce à l'écriture des nombres en base binaire (niveau 1ère Spé NSI) :)

Approche informatique : 1120 s'écrit, en binaire : 100 0110 0000 soit : 100 0000 0000 (2^10) + 100 0000 (2^6) + 10 0000 (2^5) Plus généralement, dans n'importe quel nombre exprimé en binaire, les différentes puissances de 2 qui le composent apparaissent sous forme de 1

On pourrait décomposer 1120 en puissance de 2. La plus grande puissance de est 2¹⁰ qui est égal à 1024. 1120 - 1024=96 96 n'est autre que 64+32: 2⁶ +2⁵ Donc 2⁵ + 2⁶ + 2¹⁰ = 1120 D'où a=5, b= 6 et c= 10

Conversion de 1120d en binaire. Résultat : 10001100000b.

On peut aussi transformer 1120 en base 2 en binaire quoi et regarder les 1 est faire l'addition

c est vraiment passionant

La méthode marche que pour les puissances de 2, pour les puissances d'un nombre n supérieur y aura des coefficients multiplicateurs compris entre 0 et n-1 devant tous les n^p.

moi c'est moins élégant mais je savais que la puissance la plus proche était 1024 (soit 2^10) donc j'ai fait 1120-1024 = 96 et 96 et j'ai tâtonné pour trouver deux puissances de 2, j'ai vite trouvé 64 et 32. Finalement c'est le même principe mais en connaissant les puissances c'est tout de suite plus simple (et j'ai eu de la chance aussi)

J'ai tenté 1024. coup de bol avec les 96 restant on peut faire 64 + 32. Bon ! maintenant que pour une fois je trouve en moins de 30 sec avec la chance, regardons la vidéo, et surtout voyons s'il existe d'autres trios de solutions :)

J'ai directement cherché les plus grandes puissances de 2 s'en rapprochant, donc 1024 la plus grande possible, puis compléter à chaque fois donc en ajoutant 64 puis 32, dans l'ordre inverse 😅 mais l'exercice avec des puissances plus complexes comme 3, 4, 5 pourrait être bien intéressant car pas possible de contourner facilement!

Exercice dans l'exercice j'adore

Avec des puissance de 2 c'était jouable en brute force, 2^10 = 1024 et ensuite il suffisait de décomposer le reste (96) en puissance de 2 et ça donnait 64 et 32 (2^6 et 2^5). Bon après si on met des puissance de 3 je ne sais plus rien faire, donc je vais noter cette méthode dans un coin. Merci

Étant bien trop fainéant pour faire tout ce développement, j'ai pris le problème dans l'autre sens : je suis parti de la puissance de 2 la plus proche du résultat, c'est à dire 1024 (2^10=1024). Je me suis alors penché sur ce qu'il restait à trouver 1120-1024=96. La puissance de 2 la plus proche de 96 est 64 (2^6=64). Le reste est 32, donc 2^5. a=5, b=6, c=10. C'était un peu trop facile, il y aurait pu avoir des pièges qui m'auraient forcé à revenir en arrière, mais ce ne fût pas le cas. 😊

La clef dans cette affaire est en réalité la décomposition en facteurs premiers : en effet, comme on a l'unicité, on peut facilement identifier le facteur impair pour résoudre l'équation.

C'est marrant, j'ai d'abord décomposé 1120 en puissance de 2, avant de m'intéresser au reste de l'équation. Et ensuite quand j'ai 2^a + 2^b + 2^c, je me suis pas intéréssé aux nombres impairs, j'ai fait 2^0 = 1. Après, ça suppose que a b et c soient tous entiers naturels positifs, mais je me demande toujours s'il y a pas des solutions dans d'autres ensembles ^^

C'est juste wow🙌🏿

Il faut connaître les puissances de 2. Si la plus grande puissance est 512 ça ne marche pas donc la plus grande est 1024 (2^10). c=10. Du coup le problème est réduit 2^a+2^b=96. La c’est pareil si 2^b =32 ça ne peut pas marcher donc 2^b=64 2=6. Reste à trouver 2^a = 32 donc a=5.

Whaoooo !!!! C'est fort !Beau multi raisonnement !👍

Bravo!

Très joli!

superbe. je l'avait pas celle la

Very interesting channel ! Je comprend un peu le francais 😊

Je suis parti du fait que 2^10=1024. Et ensuite, j'ai fait 1120-1024=96. Et ensuite, en tâtonnant, j'ai trouvé que 2^6+2^5=64+32=96, donc a=5, b=6 et c=10

Division de 1120 par 2 jusqu'à obtenir un impair, obtient a. Enlève 1, continue jusqu'à obtenir b et voir c dans ce qu'il reste (16=2^4)

ce serait bon de vérifier notre résultat a la fin en remplaçant a, b et c par leurs valeurs dans l'équation de départ. merci

C>b>a on pose c=a+k et b=a+ m

Bravo, belle méthode. Salutations

Super, j'adore. Merci !

Méthode bourrin: On décline les puissances de 2, sachant à priori que l'ami 2^10=1024 va forcément servir pour arriver à 1120. On déroule : 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 De 1024, pour aller à 1120, il manque 96. O joie, 96=32+64, soit 2^5 + 2^6!!!! Donc, a=5, b=6, c=10.

Les puissances de 2 sont des amies, donc je sais que 1120 c'est un peu plus que 1024 (2^10) donc c=10 1120-1024=96. 96 c'est entre 64 (2^6) et 128, donc b=6. Ensuite 96-64=32 (2^5), et on retrouve a=5. C'est moins scolaire, et j'aurais sans doute eu plus de mal avec les puissances d'un autre nombre (ou des puissances plus grandes), mais ça m'a permis de le faire de tête en quelques dizaines de secondes.

autre raisonnement ; 1120 = 2^5 X 35 , cela signifie que chaque élément de la première partie de l'égalité est divisible par 2^5 , il n'y a pas de puissance négative donc a = 5 , c = 10 1120 - ( 1024 + 32 ) = 64 = 2^6 5 , 6 , 10 sont les exposants 2^0 + 2^1 + 2^5 = 35 1 + 2 + 32 = 35 compris ??

Etant habitué aux puissance de 2 donc j'ai trouvé ça assez simple. Sur cet exemple, j'ai cherché la puissance de 2 immédiatement inférieure ou égale au résultat. Celle qui correspond le mieux est 2^10 =1024, on a donc trouvé la valeur de C=10. Il reste 1120-1024 =96, ont fait exactement le même résonnement, la puissance inférieure ou égale à 96 est 2^6=64 d'où B=6. Il reste 96-64=32 qui est une puissance de 2, 2^5 pour être exact donc A=5 Attention spoil : Le résonnement est sensiblement le même pour la diapo 2^n-2^m=4080 sauf qu'on part d'une puissance de 2 supérieure ou égale au résultat pour n ... et ça donne 2^12 -2^4 ...désolé 😉

Solution empirique à l'arrache ! ; la plus grande puissance de 2 c'est 2^c 2^11 = 2048 non 2^10 = 1024 est-ce la solution oui car 2^9 + 2^8 + 2^7 = 896 reste à trouver 2^a + 2^b = 96 en écrivant les puissances de 2 on va trouver successivement 32 et 64 a = 5 , b = 6

L'utilisation du binaire a un avantage : tout nombre peut s'écrire en binaire. De plus, le binaire, c'est juste des additions. Du coup, on commence par faire quelques multiplications rapidement, on va multiplier par 2 (en gros, on va calculer quelques 2^n). donc, en commençant par 2^0, on va aller jusqu'à 2^10 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Maintenant, on soustrait le plus grand nombre possible : 1120-1024= 96. Ok, 1024 c'est 2^10. 96, le plus grand 2^n plus petit, c'est 64. 96-64=32. Ok, 64 c'est 2^6. 32, il est dans la liste, 32-32=0. Ok, 32, c'est 2^5. Du coup, 2^5+2^6+2^10= 32+64+1024= 1120. Voila =) On peut même dire que l'écriture binaire de 1120 c'est 10001100000 Si vous voulez aller plus loin, regardez comment compter jusqu'à 31 avec une main et jusqu'à 1023 avec vos deux mains .

I don't know your language but understood math😊

Super 👍👍👍👍

Super prof..

ce qui se cache derriere cet exo est une juste une conversion d'un nombre en base 10 vers un nombre en base 2

1120 c'est pas loin de 1024... la différence c'est 96... et 96 c'est 64 + 32, bref... 1120 = 2^5 + 2^6 + 2^10 Edit : Tous les amateurs d'informatique connaissent les puissances de 2 jusqu'à 4096 ou 8192. Ici on cherche une somme de 3 puissances de 2, toutes différentes. On voit de suite que l'un des nombres sera nécessairement 1024. En effet, une somme de 3 nombres différents dont le plus grand serait 512, par exemple 512+256+128, restera inférieure à 1120. Et une somme contenant 2048 sera bien sûr supérieure à 1120. Il reste donc à chercher deux nombres dont la somme est 1120-1024=96 Et on identifie facilement 96 = 64 + 32 parmi les premières puissances de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

Sympa mais jamais vu un tel exo !

Formidable

J'ai procédé comme suit, La plus grande puissance doit être inférieure à 2048, en meme temps elle doit être supérieure à 512, donc c'est forcément 1024, hop c = 10, Que reste t'il pour arriver a 1120 ? Bein 96. La plus grande puissance doit etre inférieure a 128, et superieure a 32, c'est donc 64, hop b= 6 Il manque 32 donc a =5

Comment rendre quelque chose d'aussi simple aussi compliqué...

Arrivé a 10:45, je ne me souvenais même plus ce qu'on cherchait à l'origine. C'est très souvent comme ça pour moi. 😂

Au top

Moi j'ai commencé par 280 = 256 + 16 + 8 après j'ai multiplié par 4.

Super :)

10:31 moi je dirais plutôt que 16=4²=2^(2*2)=2^4

Sinon tu enlèves la plus grande puissance de 2 que tu connais, 1024, et tu tombés sur 96. Tu recommences en enlevant 64 et 32... 10 secondes au lieu de 10 minutes...

2^a + 2^b + 2^c = 1120 2^10 = 1024 1120 - 1024 = 96 2^6 = 64 96 - 64 = 32 32 = 2^5 ainsi 2^5 + 2^6 + 2^10 = 32 + 64 + 1024 = 1120 donc a, b et c sont égaux à {5,6,10}