Nouveau combat de boxes. Les deux adversaires sont 1,02¹⁰⁰ et 2,95. Sauras-tu dire qui est le plus grand sans calculatrice et de manière certaine ? Lien vers la vidéo de l'inégalité de Bernoulli 👇 • DÉMONTRER (1+x)ⁿ ≥ 1 +...
Pour ma part, j'ai procédé comme ça : 1.02^100 =[(1+0.02)²]^50 =(1+0.04+0.02²)^50 0.02² vaut pas grand chose, je le prend pas en compte. 1.02^100>(1+0.04)^50 Je répète la même méthode autant que possible >[(1+0.04)²]^25 >(1+0.08)^25 (là encore j'arrondi en enlevant le 0.04²) >[(1+0.08)²]^12 (j'ai pas envie d'avoir des exposants décimaux, j'arrondi 12.5 à l'inférieur pour être sûr que l'inégalité reste juste) >(1+0.16)^12 >(1+0.32)^6 >(1+0.64)^3 >(1+0.64)²(1+0.64) >(1+1.28)*1.64 >2.28*1.64 >2*1.6 (j'arrondi les deux nombres (à l'inférieur)) >3.2 1.02^100 > 3.2, donc 1.02^100 > 2.95
A chaque vignette de hedacademy, il faut se lancer un défi et résister à l'envie d'aller voir la réponse. Prenez au moins 20 à 30 mn pour sécher sur le problème. Vous apprécierez tellement plus la vidéo de la réponse et surtout... vous aurez réellement fait des maths, quelque soit le résultat auquel vous êtes parvenu.
l'intitulé de la vidéo m'a fait rire en raison du nombre à la puissance. 😉 je vais aller voir la démonstration de l'inégalité utilisée car je ne m'en souviens pas alors que je l'ai très certainement vu en cours et dans des exercices. en tout cas c'est efficace ! oui KO direct. 😅 merci pour la vidéo. 😉
ca veut pas dire grand chose un petit o de 0,02 malheureusement je crois pas qu’on puisse utiliser directement le DL qui est une propriété locale, il faut se ramener à une inégalité de convexité (dont l’idée peut partir du DL en effet)
Cool, ça m'a rappelé que la multiplication par une décimale équivaut à une division. 😢 mais pourquoi diantre oublié-je les bases? ouin snif. Mais je n'avais pas trouvé. Même en calculant.
Après avoir un peu cherché je me suis rendu compte qu’à chaque fois qu’on multipliait par 1,02 ; alors le résultat augmentait d’un peu plus que 0,02 ; j’ai donc fait la conjecture : (1,02)^n >= 1+0,02n sans même me rendre compte qu’il s’agissait d’un cas particulier de cette fameuse inégalité de Bernoulli 😂 J’ai prouvé cette conjecture par récurrence puis ai conclu de la même manière, merci de nous rappeler cela 😅
pour aller plus loin, on sait que la limite quand n tend vers + infini de (1 + x/n)^n est égale à e^x. Donc ici le membre de gauche est (1 + 2/100)^100, ce qui va être tres proche (100 étant proche de + infini) de e^2. C'est pas une démo, mais bon c'est interessant quand même.
Salut, moi j'ai fait avec une méthode un peu bizarre mais efficace : je me suis dit que comme e=(1+1/n)^n quand n tend vers +inf, si je prend n=50 je devais être assez proche. Donc (1+1/50)^50 (=1,02^50) est proche de 2.7, et quand on met au carré on dépasse largement 2.95 (pas très rigoureux mais rigolo quand même)
Intuitivement et avant d’avoir vu la vidéo je dirais 2,95… Édit: eh bien voilà, je suis tombé dans le panneau. Top, comme d’habitude. Merci je me couche moins bête 😜
Bernoulli : Un génie en Mathématiques : Probabilités paradoxales dont celle de Bernoulli, Approximations, Inégalités : Minorants, Majorants Séries, Suites, … En Sciences Physiques aussi : Mécanique des fluides, etc ….
Les Bernoulli étaient toute une famille de mathématiciens et de physiciens. L'inégalité en question est due à Jacques, l'oncle de Daniel, celui qui a fondé la mécanique des fluides. Voir fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Bernoulli
@@PierreBeguin-nq3qx Merci. Bon c’est un esprit de famille en faite, un peu comme en musique classique : Les Bach, Les Strauss, … Désolé, même en Philosophie, j’ai été noté : Hors Sujet.
Le pire ( ou le plus drôle ) c'est que j'avais trouvé un peu par hasard sans connaître Bernoulli ! Je me suis très naivement que 1 élevé à n'importe quelle puissance fait toujours 1... + 0,02 X 100 = 2 1 + 2 = 3 ! donc supérieur à 2,95 . Du point de vue mathématique pur c'est faux mais le hasard fait bien les choses parfois !..😊
Oui si l’une des 2 condition est vérifiée c’est bon. 3 est supérieur à 2 donc on peut dire qu’il est supérieur ou égal à 2. Ça m’a perturbé quelque temps quand on me l’a appris 😅
On compare 1,02¹⁰⁰ et 1,02 ^ (ln(2,95)/ln(1,02)) . On compare donc ln(2,95)/ln(1,02) et cent. Il s'avère que ln(2,95)/ln(1,02) est inférieur à cinquante-cinq donc aussi à cent. Donc 1,02¹⁰⁰ > 2,95 .
On sent que (1 + x)^n va donner du x^n + (pleins de termes en x à la puissance descendante n-1, n-2, etc.) + nx + 1 qui est plus grand que nx + 1 seul même si x est petit
En développant (1+0.02)^100 = (1+0.02) x ... x (1+0.02) On obtient une expression contenant au minimum 1 + 99 x 0.02 = 2.98 Donc (1+0.02)^100 est supérieur à 2.95 PS: Même sans connaître le critère de Bernouilli ou le binôme de Newton, il suffit de regarder ce que donnera le développement. On voit qu'on fait 99 fois la multiplication 1×0.02 et qu'on a une fois 1×1 PS2: les 2 premiers termes du développement du binôme de Newton sont : (a+b)ⁿ = aⁿ + (n × aⁿ⁻¹ × b) + .... (1+b)ⁿ = 1ⁿ + (n × 1ⁿ⁻¹ × b) + .... = 1 + n × b (1+0.02)¹⁰⁰ = 1¹⁰⁰ + (100 × 1¹⁰⁰⁻¹ × 0.02) + .... = 1 + 100 × 0.02 Je ne sais pas si c'est de là que vient le critère de Bernouilli ...
Sympa cette vidéo, avec l'inégalité de Bernoulli, fallait y penser, je n'ai pas fait comme ceci mais j'ai trouvé quand même en élevant au carré 1,02 par étape et de façon subtile (Je suis parti sur 102² puis je revenais placer ma virgule en arrière). Par contre 1,01^1001 ---> 1,08x1,8x3,24>2,95 . Cela dit je m'inspirerais de votre méthode que je trouve très sympa, merci pour la vidéo. D'ailleurs les carrés entre 100 et 200 sont très faciles à calculer puisque si vous voulez calculer 116², il suffit de prendre les deux derniers chiffres au carré, 16²=256 on pose 56 et on retient 2 puis il suffit simplement de faire l'opération 116+16+2 de retenue=134 donc 116²=13456, pareil avec 134² , on calcule 34²=1156 On pose 56 et on retient 11 puis il suffit de poser l'opération très simple 134+34+11 de retenue=179 et donc 134²=17956
Moi qui suis extrêmement naze en maths, je me suis dit que 0.02 puissance 100 c'était forcément 2, donc 1+2 = 3 Sachant que c'est légèrement supérieur a 2,95, je me suis dit que je devais pas être trop loin de la réalité mdrr
L'idée générale est bien mais 0.02 puissance 100 ça fait pas grand chose... déjà 0.02 x 0.02 = 0,0004 on continue, 0,0004 x 0.02 = 0,000008 ça se refroidit 🥶en fait on prend 2% de 0.02 et ça 99 fois de suite ! Vérifiez à la calculette : 0.02 puis touche "x puissance y" puis 100. En fait, si vous développez (1 + 0.02) x ... x (1 + 0.02) avec 100 termes ça, vous ajoutez déjà 99 fois la multiplication 1 x 0.02 et là vous obtenez 1.98 puis vous ajoutez le 1 x 1 ce qui fait déjà 2.98 > 2.95
