On peut aussi reconnaitre les premiers termes d'une série géométrique de premier terme 1 et de raison x. Ainsi on constate que le polynôme 1+x+x^2+x^3 est égal à (1-x^4)/(1-x). Ensuite on cherche les racines du polynôme 1-x^4 dans les complexes, on en trouve quatre (1, -1, i, -i). Ensuite on cherche lesquelles de ces racines sont solution de la question initiale.
@@davidseed2939 You're right but it requires some advanced level of knowledge about rational fractions, that's why I preferred to give an "easier" way to proceed.
@@davidseed2939 That's not my point. My point is you need to know how polynomials and rational fractions can share roots. While the number of roots of a polynomial is limited by the degree of this polynomial, the way the number of roots works for a rational fraction (say, a fraction of polynomials, in fact) is a little bit trickier (because there are several ways to represent a fraction).
Ce polynôme est factorisable en (x+1)(x+i)(x-i) et on a les solutions. En fait -1 est racine évidente, du coup on fait la division polynomiale de x^3 + x^2 + x + 1 par (x+1) , on trouve ( x^2 + 1 ) dont les racines évidentes sont i et -i .
Une "astuce" pour vérifier les racines évidentes 1 et -1 : ° 1 est racine si la somme des coefficients vaut 0. ° -1 est racine si les deux sommes alternées des coefficients sont égales (car les termes de degré pair sont égaux à leur coeff, tandis que les termes de degré impair sont égaux à l'opposé de leur coeff). Ici j'additionne d'une part les coeff de x^3 et de x: on trouve 2. D'autre part les coeff de x^2 et la constante: on trouve 2 aussi. Donc -1 est racine.
@@sonysunderland7235 Absolument. Soit P un polynôme de degré n. Je vais noter a[k] le coefficient du terme de degré k. Si on veut évaluer P(1): P(1) = a[n] . 1^n + a[n-1] . 1^(n-1) + ... + a[1] . 1 + a[0] Or 1^k = 1 quel que soit k. Donc P(1) = a[n] + ... + a[0] Il suffit de vérifier la somme des coefficients. Si on veut évaluer P(-1), le principe est le même, si ce n'est que (-1)^k vaut 1 pour les termes de degré pair et -1 pour les termes de degré impair donc: P(-1) = a[0] - a[1] + a[2] - a[3] etc... Il suffit de vérifier la somme alternée des coefficients. (il est possible que j'utilise mal le terme "alterné" cela dit)
À mon avis, tu as fait comme je pense: on peut constater qu'on a une suite géométrique, calculer sa somme permet donc facilement de trouver la solution, on peut aussi mettre aisément x+1 en facteur ce qui nous permettra dans les deux cas de trouver -1 comme solution de cette équation.
C'est une bonne d'idée de voir ça comme la somme des 4 premiers termes d'une suite géométrique, mais je n'ai pas fait comme ça. Il y a deux autres solutions si on utilise les nombres complexes 🙂
Ah, je vois, ça veut dire qu'il faut au moins faire terminale pour utiliser ta méthode. Ok, si on résout cette équation dans C, on aura deux autres solutions que seront i et -i donc mettre x+1 en facteurs reste valable maintenant comme tu n'utilises pas la suite géométrique qu'on peut aussi utiliser ici,
Tiens, j'étais passé par une méthode moins conventionnelle. À partir de l'équation de départ, passer le 1 à droite, puis diviser tout par x (qui ne peut être nul, donc c'est bon). On trouve que x^2+x+1 = -1/x. Du coup, en remplaçant le 1er terme par le second dans l'équation de départ, je trouve que x^3-1/x = 0. Soit x^4=1. Sur les quatre racines (dans C), trois résolvent l'équation de départ.
Très belle initiative, merci de l'avoir partagée. En plus comme 1 n'est pas racine de X^4-1, on sait directement que les 3 autres racines sont solutions de l'équation de départ.
Les polynômes formant un corps sont munis d'une division qui s'effectue exactement comme une divison normale, sauf qu'on utilise une base x au lieu d'une base 10.
Il ne faut une racine du polynome et faire la subdivision euclidien sur x_racine par consequent tu factorise le polynome et tu resouds l'equation du 2 degre et c'est fini.
